Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede: encontrar todas as soluções (a solução geral) no intervalo indicado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está definida em
, onde e é bem definida. - Quer‑se a solução geral
que satisfaça a EDO em todo esse intervalo.
Passo 2
Colocamos a EDO na forma padrão
. Aqui
Para resolver uma equação linear de primeira ordem usa‑se o fator integrante
Calculemos
. Como
,
Faça a substituição
, então
. Assim
No intervalo dado
, logo
. Portanto
Passo 3
Multiplicamos a EDO por
. Isso transforma a equação em
Observe que
. O lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
O lado esquerdo integra para
(mais constante). Para o lado direito use a substituição
, então
. Assim
Logo obtemos
onde
é constante arbitrária real.
Passo 5
Isolando
,
Como
em
, essa divisão é válida em todo o intervalo. A constante
gera toda a família de soluções.
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: a solução geral pode ser vista como soma da solução particular
e da solução geral da homogênea
. Para verificar, derivando e substituindo volta‑se à equação original (já mostrado implicitamente quando fizemos
). Vai dar tudo certinho.