Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
y^{\prime}-(\tan x) y=e^{\operatorname{sen} x} ; \quad 0<x<\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - (\tan x)\,y = e^{\sin x},\qquad 0<x<\tfrac{\pi}{2},
e pede: encontrar todas as soluções (a solução geral) no intervalo indicado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está definida em 0<x<\tfrac{\pi}{2}, onde \cos x>0 e \tan x é bem definida.
  • Quer‑se a solução geral y(x) que satisfaça a EDO em todo esse intervalo.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão y'+p(x)y=q(x). Aqui
p(x)=-\tan x,\qquad q(x)=e^{\sin x}.
Para resolver uma equação linear de primeira ordem usa‑se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big)=\exp\!\Big(\int -\tan x\,dx\Big).
Calculemos \int -\tan x\,dx. Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},
\int -\tan x\,dx=\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Faça a substituição u=\cos x, então du=-\sin x\,dx. Assim
\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+\text{const}=\ln|\cos x|+\text{const}.
No intervalo dado \cos x>0, logo |\cos x|=\cos x. Portanto
\mu(x)=\exp(\ln\cos x)=\cos x.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x)=\cos x. Isso transforma a equação em
\cos x\,y' - (\cos x)(\tan x)\,y=\cos x\,e^{\sin x}.
Observe que (\cos x)(\tan x)=\sin x. O lado esquerdo é a derivada do produto \cos x\cdot y, pois
(\cos x\;y)' = -\sin x\,y + \cos x\,y' = \cos x\,y' - \sin x\,y.
Portanto a equação fica
(\cos x\;y)' = \cos x\,e^{\sin x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
\int (\cos x\;y)' \,dx = \int \cos x\,e^{\sin x}\,dx.
O lado esquerdo integra para \cos x\;y (mais constante). Para o lado direito use a substituição u=\sin x, então du=\cos x\,dx. Assim
\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx=\int e^{u}\,du=e^{u}+C=e^{\sin x}+C.
Logo obtemos
\cos x\;y = e^{\sin x} + C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 5

Isolando y,
y(x)=\frac{e^{\sin x}+C}{\cos x}=\operatorname{sec} x\,(e^{\sin x}+C).
Como \cos x>0 em 0<x<\tfrac{\pi}{2}, essa divisão é válida em todo o intervalo. A constante C\in\mathbb{R} gera toda a família de soluções.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: a solução geral pode ser vista como soma da solução particular y_p(x)=\dfrac{e^{\sin x}}{\cos x} e da solução geral da homogênea y_h(x)=\dfrac{C}{\cos x}. Para verificar, derivando e substituindo volta‑se à equação original (já mostrado implicitamente quando fizemos (\cos x\,y)'=\cos x e^{\sin x}). Vai dar tudo certinho.

Resposta

y(x)=\dfrac{e^{\sin x}+C}{\cos x},\qquad C\in\mathbb{R}

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