Calcular as seguintes integrais duplas, representando a área de integração S :
\iint_{(S)}(4 x+3 y) d x d y, que se estende ao campo S limitado pela curva y=x^{2} e pela recta y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{(S)} (4x+3y)\,dx\,dy,
onde o domínio S é a região limitada pelas curvas \;y=x^{2}\; e \;y=2x\;. Informações relevantes fornecidas:
  • As curvas que limitam S são \;y=x^{2}\; (parábola) e \;y=2x\; (reta).
  • Devemos determinar a região S e então calcular a integral dupla do campo escalar (4x+3y) sobre S.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção entre as curvas, pois definem os limites em x:
x^{2}=2x \Longrightarrow x^{2}-2x=0 \Longrightarrow x(x-2)=0,
logo \;x=0 e \;x=2.
Para x entre 0 e 2 comparamos as ordens das curvas: \;2x-x^{2}=x(2-x)>0 para 0<x<2, então \;y=2x\; está acima de \;y=x^{2}\; nesse intervalo. Portanto a região S é do tipo “vertical simples” dada por
0\le x\le 2,\qquad x^{2}\le y\le 2x.
Explicação didática: em regiões do tipo I (verticais) fixamos x entre os extremos e, para cada x, y varia entre a curva de baixo e a curva de cima. Assim podemos transformar a integral dupla numa iterada \int_{x=\text{min}}^{\text{max}}\int_{y=\text{inf}(x)}^{\text{sup}(x)}.

Passo 3

Montamos a integral iterada apropriada (integrando primeiro em y, depois em x):
\iint_{S}(4x+3y)\,dx\,dy=\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=x^{2}}^{2x}(4x+3y)\,dy\right)dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y. Trato x como constante nessa integração. A primitiva de 4x+3y em relação a y é
\int(4x+3y)\,dy=4x\,y+\frac{3}{2}y^{2},
pois \int 4x\,dy=4x\,y (já que x é constante) e \int 3y\,dy=\tfrac{3}{2}y^{2}. Agora avaliamos entre y=x^{2} e y=2x.

Passo 5

Avaliação da primitiva nos limites de y:
\Bigl[4x\,y+\frac{3}{2}y^{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x} = \left(4x\cdot 2x+\frac{3}{2}(2x)^{2}\right)-\left(4x\cdot x^{2}+\frac{3}{2}x^{4}\right).
Calcule cada termo:
4x\cdot 2x=8x^{2},\qquad \frac{3}{2}(2x)^{2}=\frac{3}{2}\cdot 4x^{2}=6x^{2},
portanto a avaliação no topo dá 8x^{2}+6x^{2}=14x^{2}.
No limite inferior:
4x\cdot x^{2}=4x^{3},\qquad \frac{3}{2}x^{4}=\frac{3}{2}x^{4}.
Subtraindo, obtemos a função que resta integrar em x:
14x^{2}-4x^{3}-\frac{3}{2}x^{4}.

Passo 6

Agora integramos essa expressão em x de 0 a 2. Usamos a regra de potência \int x^{n}\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{2}\left(14x^{2}-4x^{3}-\frac{3}{2}x^{4}\right)dx = \left[\frac{14}{3}x^{3}-x^{4}-\frac{3}{10}x^{5}\right]_{0}^{2}.
Detalhe das constantes: \int 14x^{2}dx=14\cdot \tfrac{x^{3}}{3}=\tfrac{14}{3}x^{3}; \int -4x^{3}dx=-4\cdot \tfrac{x^{4}}{4}=-x^{4}; \int -\tfrac{3}{2}x^{4}dx=-\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{x^{5}}{5}=-\tfrac{3}{10}x^{5}.

Passo 7

Avaliação em x=2 (em x=0 dá zero):
\frac{14}{3}\cdot 2^{3}-2^{4}-\frac{3}{10}\cdot 2^{5} = \frac{14}{3}\cdot 8 -16 -\frac{3}{10}\cdot 32.
Calcule passo a passo:
\frac{14}{3}\cdot 8=\frac{112}{3},\qquad \frac{3}{10}\cdot 32=\frac{96}{10}=\frac{48}{5}.
Agora faça a diferença com denominador comum 15:
\frac{112}{3}-16-\frac{48}{5} = \frac{112}{3}-\frac{48}{3}-\frac{48}{5} = \frac{64}{3}-\frac{48}{5} = \frac{64\cdot 5-48\cdot 3}{15} = \frac{320-144}{15} = \frac{176}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{176}{15}

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