Calcular as seguintes integrais duplas, representando a área de integração S :
, que se estende ao campo S limitado pela curva
e pela recta
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde o domínio
é a região limitada pelas curvas
e
. Informações relevantes fornecidas:
- As curvas que limitam
são (parábola) e (reta). - Devemos determinar a região
e então calcular a integral dupla do campo escalar sobre .
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção entre as curvas, pois definem os limites em
:
logo
e
.
Para entre
e
comparamos as ordens das curvas:
para
, então
está acima de
nesse intervalo. Portanto a região
é do tipo “vertical simples” dada por
Para
Explicação didática: em regiões do tipo I (verticais) fixamos
entre os extremos e, para cada
,
varia entre a curva de baixo e a curva de cima. Assim podemos transformar a integral dupla numa iterada
.
Passo 3
Montamos a integral iterada apropriada (integrando primeiro em
, depois em
):
Passo 4
Calculamos a integral interna em
. Trato
como constante nessa integração. A primitiva de
em relação a
é
pois
(já que
é constante) e
. Agora avaliamos entre
e
.
Passo 5
Avaliação da primitiva nos limites de
:
Calcule cada termo:
portanto a avaliação no topo dá
.
No limite inferior:
No limite inferior:
Subtraindo, obtemos a função que resta integrar em
:
Passo 6
Agora integramos essa expressão em
de
a
. Usamos a regra de potência
:
Detalhe das constantes:
;
;
.
Passo 7
Avaliação em
(em
dá zero):
Calcule passo a passo:
Agora faça a diferença com denominador comum
: