Encontre todos os inteiros positivos \mathbf{n} tais que \mathrm{n}+2009 divide n^{2}+2009 e n+2010 divide n^{2}+2010.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros positivos n tais que
n+2009 \mid n^2+2009 \quad\text{e}\quad n+2010 \mid n^2+2010.
O conteúdo é teoria de divisibilidade e redução de polinômios módulo um divisor.

Passo 2

Para a primeira condição note que, escrevendo D=n+2009, temos n\equiv -2009\pmod D. Logo
n^2+2009\equiv(-2009)^2+2009 =2009^2+2009 =2009\cdot(2009+1) =2009\cdot2010 \pmod D.
Para que D\mid n^2+2009 é necessário e suficiente
D\mid 2009\cdot2010.

Passo 3

Analogamente, para a segunda condição use E=n+2010. Então n\equiv -2010\pmod E e
n^2+2010\equiv(-2010)^2+2010 =2010\cdot2011 \pmod E.
Logo é preciso
E\mid 2010\cdot2011.

Passo 4

Definindo
A=n+2009,\quad B=n+2010=A+1,
obtivemos as condições
A\mid 2009\cdot2010, \qquad A+1\mid 2010\cdot2011.
Note que 2009\cdot2010=4\,038\,090 e 2010\cdot2011=4\,042\,110.

Passo 5

Como A e A+1 são primos entre si, para achar A podemos escrever
A+1=\frac{4\,042\,110}{k},
onde k varia sobre os divisores de 4\,042\,110. Então
A=\frac{4\,042\,110}{k}-1.
Precisamos de A\mid4\,038\,090 e A\ge2010 (pois n>0 implica A=n+2009\ge2010).
Os divisores k de 4\,042\,110 que geram A\ge2010 e integram a divisão são aqueles que dividem 2010 (pois se k contivesse o primo 2011, então A<2010).
Testando todos os divisores positivos de 2010, apenas k=2010
A=\frac{4\,042\,110}{2010}-1=2011-1=2010,
e de fato
2010\mid4\,038\,090 \quad\text{e}\quad 2011\mid4\,042\,110.
Isso corresponde a
n=A-2009=2010-2009=1.

Resposta

n=1

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