Encontre todos os inteiros positivos
tais que
divide
e
divide
.
Passo 1
O enunciado pede todos os inteiros positivos
tais que
O conteúdo é teoria de divisibilidade e redução de polinômios módulo um divisor.
Passo 2
Para a primeira condição note que, escrevendo
, temos
. Logo
Para que
é necessário e suficiente
Passo 3
Analogamente, para a segunda condição use
. Então
e
Logo é preciso
Passo 4
Definindo
obtivemos as condições
Note que
e
.
Passo 5
Como
e
são primos entre si, para achar
podemos escrever
onde
varia sobre os divisores de
. Então
Precisamos de
e
(pois
implica
).
Os divisores de
que geram
e integram a divisão são aqueles que dividem
(pois se
contivesse o primo
, então
).
Testando todos os divisores positivos de , apenas
dá
Os divisores
Testando todos os divisores positivos de
e de fato
Isso corresponde a