Três amigas foram a uma livraria com seus namorados. Coincidentemente, cada pessoa pagou, por livro, um preço em reais igual à quantidade de livros que comprou.
Além disso, cada mulher gastou 32 reais a mais que seu respectivo namorado. Ao final das compras, as mulheres compraram, ao todo, oito livros a mais que os homens.
Quantos livros foram comprados no total?
a) 32
b) 36
c) 40
d) 44

Passo 1

O enunciado fala de três casais, cada pessoa compra um certo número de livros e paga, por livro, um valor igual à quantidade que comprou. Se w_i é o número de livros da mulher no casal i e m_i o do namorado, a despesa dela é w_i^2 e a dele é m_i^2. Sabemos que em cada casal
w_i^2 = m_i^2 + 32
e que, no total, as mulheres compraram 8 livros a mais que os homens:
\sum_{i=1}^3 (w_i - m_i) = 8.

Passo 2

Da equação
w_i^2 - m_i^2 = 32
temos a fatoração
(w_i - m_i)\,(w_i + m_i) = 32.
Como w_i e m_i são inteiros positivos com w_i>m_i, os dois fatores são divisores positivos de 32.

Passo 3

Os pares de divisores (w_i - m_i,\,w_i + m_i) com produto 32 e soma par (para dar w_i e m_i inteiros) são
(2,16)\quad\text{e}\quad(4,8).
De cada par obtemos:
  • Se (w_i - m_i,w_i + m_i)=(2,16), então
w_i=\frac{2+16}{2}=9,\quad m_i=\frac{16-2}{2}=7.
  • Se (w_i - m_i,w_i + m_i)=(4,8), então
w_i=\frac{4+8}{2}=6,\quad m_i=\frac{8-4}{2}=2.

Passo 4

Chamando f_i = w_i - m_i, vemos que f_i vale 2 no caso (9,7) e vale 4 no caso (6,2). Como
\sum_{i=1}^3 f_i = 8
e cada f_i\in\{2,4\}, a única combinação em três parcelas que soma 8 é ter duas vezes 2 e uma vez 4. Ou seja, dois casais são do tipo (w,m)=(9,7) e um casal é do tipo (6,2).

Passo 5

Logo, o total de livros comprados pelas mulheres é
9+9+6 = 24
e pelos homens é
7+7+2 = 16.
Portanto, o total geral de livros é
24 + 16 = 40.

Resposta

40

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