Encontre todos os d \in \mathbb{N} tais que d \mid\left(n^{2}+1\right) e d \mid\left((n+1)^{2}+1\right), para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (tudo que importa, sem resolver ainda).
  • Queremos encontrar todos os d\in\mathbb{N} tais que, para todo n\in\mathbb{N}, valem simultaneamente as divisibilidades d \mid \big(n^{2}+1\big) \qquad\text{e}\qquad d \mid \big((n+1)^{2}+1\big).
  • Informação importante extraída do enunciado: a propriedade deve acontecer para todo n\in\mathbb{N} (ou seja, para quaisquer valores naturais de n).

Passo 2

Lembrete útil sobre divisibilidade que vamos usar (e uma mini-aula): se um inteiro d divide dois inteiros a e b, então d divide qualquer combinação linear inteira s a + t b (com s,t\in\mathbb{Z}). Explicando por que: se a=dk e b=d\ell, então s a + t b = d(sk+t\ell), que é múltiplo de d. Esse é um fato básico usado para comparar dois números quando se conhece que um divisor comum existe.

Passo 3

Aplicar a ideia ao problema: suponha que d tenha a propriedade pedida, então para todo n temos
d \mid \big((n+1)^{2}+1\big) \quad\text{e}\quad d \mid \big(n^{2}+1\big).
Usando a combinação linear (subtração), para cada n segue que d divide a diferença entre esses dois dois números:
d \mid \Big((n+1)^{2}+1\Big)-\Big(n^{2}+1\Big).
Calcule a diferença explicitamente:
\Big((n+1)^{2}+1\Big)-\Big(n^{2}+1\Big) = (n^2+2n+1+1)-(n^2+1)=2n+1.
Portanto, para todo n vale
d \mid (2n+1).

Passo 4

Agora observe que a propriedade acima vale para todos os n. Em particular vale para um n qualquer e para n+1. Assim d divide tanto 2n+1 quanto 2(n+1)+1=2n+3. Aplicando a ideia de combinação linear novamente (subtração), obtemos
d \mid (2n+3)-(2n+1)=2.
Logo d divide 2. Como d é natural, isso implica
d\in\{1,2\}.

Passo 5

Agora testamos cada candidato obtido:
  • Teste d=1: 1 divide qualquer inteiro, então d=1 satisfaz a condição para todo n. Portanto d=1 funciona.
  • Teste d=2: precisamos checar se 2 divide simultaneamente n^{2}+1 e (n+1)^{2}+1 para todo n. Mas já basta um contraexemplo para descartar 2. Por exemplo, para n=2 (que é um n\in\mathbb{N}) temos
    n^{2}+1 = 2^{2}+1 = 5,
    e 5 não é divisível por 2. Portanto d=2 não satisfaz a condição "para todo n". Assim d=2 é descartado.

Passo 6

Conclusão final: o único d\in\mathbb{N} que satisfaz a propriedade para todo n\in\mathbb{N} é 1. Força aí nos estudos — já matou o problema principal!

Resposta

\;d=1\;

Exercícios relacionados