Encontre todos os
tais que
e
, para todo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (tudo que importa, sem resolver ainda).
- Queremos encontrar todos os
tais que, para todo , valem simultaneamente as divisibilidades - Informação importante extraída do enunciado: a propriedade deve acontecer para todo
(ou seja, para quaisquer valores naturais de ).
Passo 2
Lembrete útil sobre divisibilidade que vamos usar (e uma mini-aula): se um inteiro
divide dois inteiros
e
, então
divide qualquer combinação linear inteira
(com
). Explicando por que: se
e
, então
, que é múltiplo de
. Esse é um fato básico usado para comparar dois números quando se conhece que um divisor comum existe.
Passo 3
Aplicar a ideia ao problema: suponha que
tenha a propriedade pedida, então para todo
temos
Usando a combinação linear (subtração), para cada
segue que
divide a diferença entre esses dois dois números:
Calcule a diferença explicitamente:
Portanto, para todo
vale
Passo 4
Agora observe que a propriedade acima vale para todos os
. Em particular vale para um
qualquer e para
. Assim
divide tanto
quanto
. Aplicando a ideia de combinação linear novamente (subtração), obtemos
Logo
divide
. Como
é natural, isso implica
Passo 5
Agora testamos cada candidato obtido:
-
Teste
: divide qualquer inteiro, então satisfaz a condição para todo . Portanto funciona. -
Teste
: precisamos checar se divide simultaneamente e para todo . Mas já basta um contraexemplo para descartar . Por exemplo, para (que é um ) temos enão é divisível por . Portanto não satisfaz a condição "para todo ". Assim é descartado.
Passo 6
Conclusão final: o único
que satisfaz a propriedade para todo
é
. Força aí nos estudos — já matou o problema principal!