Encontre todos os números reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
1x<x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
1x < x^2,
que é uma inequação fracionária. Precisamos determinar o domínio, encontrar os pontos em que ela se anula ou fica indefinida, e então estudar o sinal da expressão resultante.

Passo 2

Determinamos o domínio e os pontos críticos:
– A expressão tfrac1x exige xneq0.
– Igualando tfrac1x = x^2 obtemos
1x = x^2 ;Longrightarrow; 1 = x^3 ;Longrightarrow; x = 1
Logo os pontos críticos são x=0 (onde a expressão não existe) e x=1.

Passo 3

Reescrevemos a desigualdade numa única fração em comparação com zero:
1x < x^2 Long<=ftrightarrow 0 < x^2 - 1x Long<=ftrightarrow 0 < x^3 - 1x

Passo 4

Estudamos o sinal de dfracx^3 - 1x nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  • Para x<0: o numerador x^3-1<0 e o denominador x<0, então a fração é positiva.
  • Para 0<x<1: o numerador x^3-1<0 e o denominador x>0, então a fração é negativa.
  • Para x>1: o numerador x^3-1>0 e o denominador x>0, então a fração é positiva.

Resposta

A solução da desigualdade é
(-infty,0),cup,(1,infty)

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