Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot(3 n-2)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty an, an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)1cdot4cdot7cdots(3n-2)
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência.
O conteúdo principal aqui é o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Primeiro observamos que
an = prodk=1^n 2k-13k-2
Como todos os an são positivos, a convergência absoluta coincide com a convergência simples. Vamos aplicar o teste da razão, que compara
dfracan+1an.

Passo 3

Calculemos
an+1an = prodk=1^n+12k-13k-2% prodk=1^n2k-13k-2 = 2(n+1)-13(n+1)-2 = 2n+13n+1
Agora tomamos o limite:
limntoinftyan+1an = limntoinfty2n+13n+1 = 23

Passo 4

Como o limite da razão é
tfrac23<1, o teste da razão garante que
sum an converge. E sendo an>0, essa convergência é absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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