Encontre todos os pare ( x, y ) com x e y inteiros tais que 21 x+15 y=6.

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções inteiras da equação linear
21x + 15y = 6.
Este é um problema de equação diofantina do tipo ax + by = c. Sabemos que ela tem solução inteira se, e somente se, \gcd(a,b) divide c, e que a solução geral é obtida a partir de uma solução particular somando múltiplos de \tfrac{b}{\gcd(a,b)} em x e subtraindo múltiplos de \tfrac{a}{\gcd(a,b)} em y.

Passo 2

Calculemos \gcd(21,15) pelo Algoritmo de Euclides:
\gcd(21,15)=\gcd(15,6)=\gcd(6,3)=\gcd(3,0)=3.
Como 3 divide 6, a equação tem soluções inteiras.

Passo 3

Dividindo toda a equação por d=3, obtemos a forma normalizada
7x + 5y = 2.

Passo 4

Precisamos de uma solução particular de 7x + 5y = 2. Por tentativa, observe que
7\cdot1 + 5\cdot(-1) = 7 - 5 = 2.
Logo, (x_0,y_0) = (1,\,-1) é uma solução particular.

Passo 5

A solução geral de 21x + 15y = 6 é dada por
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t = 1 + \frac{15}{3}\,t = 1 + 5t,
y = y_0 - \frac{a}{d}\,t = -1 - \frac{21}{3}\,t = -1 - 7t,
onde t é qualquer inteiro.

Resposta

(x,y) = \bigl(1 + 5t,\,-1 - 7t\bigr),\qquad t\in\mathbb{Z}.

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