Com quantos zeros consecutivos a representação decimal do número 1000 ! termina?

Passo 1

O enunciado pede o número de zeros finais de 1000!. Cada zero no fim resulta de um fator 10 na fatoração de 1000!, e como 10=2\times5 e há muito mais fatores 2 que 5 em 1000!, basta contar quantas vezes 5 aparece em sua fatoração.

Passo 2

O número de fatores 5 em n! é dado pela soma
\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{5^k}\right\rfloor,
onde paramos quando 5^k>n.

Passo 3

Para n=1000 calculamos os termos não nulos:
\left\lfloor \frac{1000}{5}\right\rfloor = 200,\quad \left\lfloor \frac{1000}{25}\right\rfloor = 40,\quad \left\lfloor \frac{1000}{125}\right\rfloor = 8,\quad \left\lfloor \frac{1000}{625}\right\rfloor = 1.

Passo 4

Somando esses valores obtemos
200 + 40 + 8 + 1 = 249.
Portanto, 1000! termina com 249 zeros consecutivos.

Resposta

249

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