Encontre todos os pares (x, y) satisfazendo o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} x-y=2 \\ x^{2}-y^{2}=12 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente o sistema
\left\{\begin{array}{l} x-y=2 \\[6pt] x^{2}-y^{2}=12 \end{array}\right.
Informações dadas relevantes:
  • A primeira equação é \;x-y=2\;.
  • A segunda é \;x^{2}-y^{2}=12\;.
    Objetivo: determinar todos os valores de (x,y) que tornam verdadeiras as duas equações ao mesmo tempo.]

Passo 2

Estratégia básica (substituição): isolar uma variável na equação linear e substituir na equação quadrática. Isso funciona porque a primeira equação é linear em x e y, então é simples expressar uma variável em função da outra.
Isolando x a partir de \;x-y=2\; obtemos:
x = y + 2.
Aqui cada símbolo representa:
  • x e y: incógnitas que queremos achar,
  • o sinal =: igualdade entre as expressões.

Passo 3

Substituir x = y+2 na segunda equação \;x^{2}-y^{2}=12\;. Fazendo a substituição:
(y+2)^{2}-y^{2}=12.
Agora desenvolvemos as potências passo a passo. Lembrando que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, temos:
(y+2)^{2}=y^{2}+4y+4.
Substituindo:
y^{2}+4y+4 - y^{2} = 12.
As parcelas y^{2} se cancelam:
4y+4 = 12.
Isolando y: subtraímos 4 dos dois lados e dividimos por 4:
4y = 8 \quad\Rightarrow\quad y = 2.

Passo 4

Com y=2, voltamos à expressão x = y+2 para achar x:
x = 2 + 2 = 4.
Portanto obtemos o par (x,y) = (4,2).

Passo 5

Verificação rápida (sempre faça isso na prova): substituir (x,y)=(4,2) nas equações originais.
Primeira equação:
4-2 = 2 \quad\checkmark
Segunda equação:
4^{2}-2^{2} = 16-4 = 12 \quad\checkmark
Ambas satisfeitas, logo (4,2) é solução.

Passo 6

Um método alternativo (mais curto) que vale a pena conhecer: fatorar a diferença de quadrados na segunda equação. Lembrando que \;a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\;, aplicando em \;x^{2}-y^{2}=12\; obtemos
(x-y)(x+y)=12.
Como pelo enunciado \;x-y=2\;, substitui-se e fica
2(x+y)=12 \quad\Rightarrow\quad x+y=6.
Agora resolver o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x-y=2 \\[4pt] x+y=6 \end{array}\right.
Somando as duas equações: 2x=8\Rightarrow x=4. Substituindo em x-y=2 obtemos y=2. Resultado coincidente com o anterior. Esse caminho é normalmente mais rápido na prova.]

Resposta

(4,2)

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