Encontre todos os pares
satisfazendo o sistema abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pares
que satisfazem simultaneamente o sistema
Informações dadas relevantes:
- A primeira equação é
. - A segunda é
.
Objetivo: determinar todos os valores deque tornam verdadeiras as duas equações ao mesmo tempo.]
Passo 2
Estratégia básica (substituição): isolar uma variável na equação linear e substituir na equação quadrática. Isso funciona porque a primeira equação é linear em
e
, então é simples expressar uma variável em função da outra.
Isolando
a partir de
obtemos:
Aqui cada símbolo representa:
-
e : incógnitas que queremos achar, - o sinal
: igualdade entre as expressões.
Passo 3
Substituir
na segunda equação
. Fazendo a substituição:
Agora desenvolvemos as potências passo a passo. Lembrando que
, temos:
Substituindo:
As parcelas
se cancelam:
Isolando
: subtraímos
dos dois lados e dividimos por
:
Passo 4
Com
, voltamos à expressão
para achar
:
Portanto obtemos o par
.
Passo 5
Verificação rápida (sempre faça isso na prova): substituir
nas equações originais.
Primeira equação:
Primeira equação:
Segunda equação:
Ambas satisfeitas, logo
é solução.
Passo 6
Um método alternativo (mais curto) que vale a pena conhecer: fatorar a diferença de quadrados na segunda equação. Lembrando que
, aplicando em
obtemos
Como pelo enunciado
, substitui-se e fica
Agora resolver o sistema linear
Somando as duas equações:
. Substituindo em
obtemos
. Resultado coincidente com o anterior. Esse caminho é normalmente mais rápido na prova.]