Para quais valores de x vale \left(x^{2}+1\right)^{2}=4 x^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left(x^{2}+1\right)^{2}=4x^{2}
e pede: para quais valores de x essa igualdade é verdadeira?
Informações relevantes fornecidas: a incógnita é x (assumida como número real) e a expressão envolve apenas potências de x.

Passo 2

Observação útil para simplificar: a equação envolve apenas x^{2} e expressões quadráticas em x^{2}. Nessas situações é conveniente fazer a substituição
t = x^{2},
porque assim reduzimos a equação a uma equação quadrática em t. Note que, por definição de t, vale sempre t\ge 0.

Passo 3

Aplicando a substituição t=x^{2} na equação original obtemos
(t+1)^{2}=4t.
Agora vamos desenvolver e resolver essa equação em t. Expande-se o quadrado:
t^{2}+2t+1=4t.
Passando todos os termos para um lado:
t^{2}+2t+1-4t=0
t^{2}-2t+1=0.

Passo 4

A expressão do lado esquerdo é um quadrado perfeito; fatorando:
t^{2}-2t+1=(t-1)^{2}.
Portanto
(t-1)^{2}=0,
o que implica
t=1.
Lembrando a restrição t\ge 0, esse valor é admissível.

Passo 5

Voltando à variável x com t=x^{2}, obtemos
x^{2}=1.
Para resolver x^{2}=1 tomamos raíz quadrada de ambos os lados; como a raiz quadrada de um quadrado tem dois sinais possíveis, temos
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1.

Passo 6

Verificação rápida: para x=1,
(x^{2}+1)^{2}=(1+1)^{2}=4=4\cdot1^{2},
ok. Para x=-1,
((-1)^{2}+1)^{2}=(1+1)^{2}=4=4\cdot(-1)^{2},
ok também. Assim ambos satisfazem a equação.

Resposta

\,x=1
\,x=-1

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