Quantas e quais são as soluções da equação
?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta quantas soluções existem e quais são.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é
. - A presença da raiz quadrada impõe uma restrição no domínio: o radicando deve ser não negativo, isto é
.
Passo 2
Determinar o domínio de validade inicial da equação (informação necessária antes de manipular):
A raiz quadrada só está definida para
A raiz quadrada
ou seja
Além disso, lembrando que
é sempre não negativa (
), ao isolar a raiz vamos obter uma condição extra (veja próximo passo). Essas restrições serão usadas para aceitar ou rejeitar raízes obtidas por manipulações algébricas.
Passo 3
Isolar a raiz e impor condição de sinal:
A equação original pode ser reescrita isolando a raiz:
A equação original pode ser reescrita isolando a raiz:
Como o lado esquerdo é não negativo, é necessário que o lado direito também seja não negativo:
Combinando com a restrição do radicando (
), obtemos o intervalo possível para soluções:
Só valores de
nesse intervalo podem ser soluções; agora podemos manipular a igualdade com segurança (lembrando sempre de checar raízes extranhas no final).
Passo 4
Elevar ao quadrado para eliminar a raiz (explicando por que fazemos isso):
Como temos e já garantimos que ambos os lados são
, podemos elevar os dois lados ao quadrado sem introduzir ambiguidade de sinal:
Como temos
Isso dá
Desenvolvendo o quadrado no lado direito:
Passo 5
Resolver a equação resultante e fatorar:
Levantando todos os termos para um lado,
Levantando todos os termos para um lado,
Fatorando,
Portanto os candidatos a solução são
Passo 6
Verificar cada candidato no contexto do domínio e na equação original (por que isso é obrigatório):
Lembrando que só no intervalo
podem ser soluções, imediatamente vemos que
está fora desse intervalo, então deve ser rejeitado. Ainda assim, sempre conferimos substituindo na equação original:
Lembrando que só
- Para
:
então
satisfaz a equação.
- Para
:
logo
é uma raiz extranha introduzida ao elevar ao quadrado e deve ser rejeitada.
Explicação curta do porquê de raízes extranhas: ao elevar uma igualdade à segunda potência pode-se transformar uma igualdade entre números de sinais opostos em uma igualdade verdadeira (por exemplo
), por isso é sempre necessário checar as soluções obtidas.
Passo 7
Outra maneira (substituição) — reforçando didática simples:
Uma alternativa didática é fazer a substituição (com
). Da equação original obtemos
, então
. Usando a definição de
,
Uma alternativa didática é fazer a substituição
Reorganizando,
Como
, só vale
. Então
. Mesmo resultado, com talvez menos passos algébricos, e foi preciso garantir
para descartar
.
Passo 8
Conclusão final e incentivo breve:
Encontramos exatamente uma solução válida da equação, que é . Bom trabalho por chegar até aqui — quando tiver outra equação com raiz, lembra de: (1) impor domínio do radicando, (2) verificar sinais antes de elevar ao quadrado e (3) checar sempre as soluções obtidas.
Encontramos exatamente uma solução válida da equação, que é
Resposta
Há exatamente uma solução:
.