Quantas e quais são as soluções da equação \sqrt{x+1}+x=1 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação \sqrt{x+1}+x=1 e pergunta quantas soluções existem e quais são.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é x.
  • A presença da raiz quadrada impõe uma restrição no domínio: o radicando deve ser não negativo, isto é \,x+1\ge 0.

Passo 2

Determinar o domínio de validade inicial da equação (informação necessária antes de manipular):
A raiz quadrada \sqrt{x+1} só está definida para
x+1\ge 0,
ou seja
x\ge -1.
Além disso, lembrando que \sqrt{x+1} é sempre não negativa ( \sqrt{x+1}\ge 0), ao isolar a raiz vamos obter uma condição extra (veja próximo passo). Essas restrições serão usadas para aceitar ou rejeitar raízes obtidas por manipulações algébricas.

Passo 3

Isolar a raiz e impor condição de sinal:
A equação original pode ser reescrita isolando a raiz:
\sqrt{x+1}=1-x.
Como o lado esquerdo é não negativo, é necessário que o lado direito também seja não negativo:
1-x\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\le 1.
Combinando com a restrição do radicando ( x\ge -1), obtemos o intervalo possível para soluções:
-1\le x\le 1.
Só valores de x nesse intervalo podem ser soluções; agora podemos manipular a igualdade com segurança (lembrando sempre de checar raízes extranhas no final).

Passo 4

Elevar ao quadrado para eliminar a raiz (explicando por que fazemos isso):
Como temos \sqrt{x+1}=1-x e já garantimos que ambos os lados são \ge 0, podemos elevar os dois lados ao quadrado sem introduzir ambiguidade de sinal:
\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2=(1-x)^2.
Isso dá
x+1 = (1-x)^2.
Desenvolvendo o quadrado no lado direito:
x+1 = 1 - 2x + x^2.

Passo 5

Resolver a equação resultante e fatorar:
Levantando todos os termos para um lado,
0 = x^2 -2x +1 - x -1 = x^2 -3x.
Fatorando,
x^2-3x = x(x-3)=0.
Portanto os candidatos a solução são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 6

Verificar cada candidato no contexto do domínio e na equação original (por que isso é obrigatório):
Lembrando que só x no intervalo [-1,1] podem ser soluções, imediatamente vemos que x=3 está fora desse intervalo, então deve ser rejeitado. Ainda assim, sempre conferimos substituindo na equação original:
  • Para x=0:
\sqrt{0+1}+0 = \sqrt{1}+0 = 1,
então x=0 satisfaz a equação.
  • Para x=3:
\sqrt{3+1}+3 = \sqrt{4}+3 = 2+3 = 5 \neq 1,
logo x=3 é uma raiz extranha introduzida ao elevar ao quadrado e deve ser rejeitada.
Explicação curta do porquê de raízes extranhas: ao elevar uma igualdade à segunda potência pode-se transformar uma igualdade entre números de sinais opostos em uma igualdade verdadeira (por exemplo (-2)^2 = 2^2), por isso é sempre necessário checar as soluções obtidas.

Passo 7

Outra maneira (substituição) — reforçando didática simples:
Uma alternativa didática é fazer a substituição \,y=\sqrt{x+1} (com y\ge 0). Da equação original obtemos y + x = 1, então x=1-y. Usando a definição de y,
x+1 = y^2 \quad\Longrightarrow\quad (1-y)+1 = y^2 \quad\Longrightarrow\quad 2-y = y^2.
Reorganizando,
y^2+y-2=0 \quad\Longrightarrow\quad (y+2)(y-1)=0.
Como y\ge 0, só vale y=1. Então x=1-y=0. Mesmo resultado, com talvez menos passos algébricos, e foi preciso garantir y\ge 0 para descartar y=-2.

Passo 8

Conclusão final e incentivo breve:
Encontramos exatamente uma solução válida da equação, que é x=0. Bom trabalho por chegar até aqui — quando tiver outra equação com raiz, lembra de: (1) impor domínio do radicando, (2) verificar sinais antes de elevar ao quadrado e (3) checar sempre as soluções obtidas.

Resposta

Há exatamente uma solução: x=0.

Exercícios relacionados