[G, G5] Encontre todos o pontos críticos de f, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que f seja contínua em toda parte.
f(x)=x^2-7(x^2+4)^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
f(x)=x^2-7l(x^2+4r)^1/3
ou seja, onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe, e em cada ponto decidir se há máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum. Vamos usar o teste da primeira derivada para classificar os extremos.

Passo 2

Calcular f'(x) por quociente. Seja
N(x)=x^2-7, D(x)=l(x^2+4r)^1/3
Então
N'(x)=2x, D'(x)=13l(x^2+4r)^-2/3cdot2x=2x3,(x^2+4)^-2/3
Pela regra do quociente,
f'(x) =N'(x),D(x)-N(x),D'(x)D(x)^2 =2x,(x^2+4)^1/3-dfrac2x3(x^2-7)(x^2+4)^-2/3(x^2+4)^2/3
Fatorando e simplificando obtemos
f'(x) =2x,(2x^2+19)3,(x^2+4)^-4/3

Passo 3

Criticidade: f'(x)=0 implica
2x,(2x^2+19)=0
e como 2x^2+19>0 para todo x, a única solução é x=0. O denominador nunca anula pois x^2+4>0.
Classificação: o sinal de f'(x) vem do fator x, pois (2x^2+19)/3>0 e (x^2+4)^-4/3>0. Logo
  • para x<0, f'(x)<0 (função decrescente),
  • para x>0, f'(x)>0 (função crescente).
Isso mostra que em x=0 a função passa de decrescente a crescente, logo há um mínimo relativo.

Resposta

O único ponto crítico é x=0, e nele ocorre um mínimo relativo. A ordenada vale
f(0)=0^2-7(0^2+4)^1/3=-74^1/3

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