[G, G5] Encontre todos o pontos críticos de f, e em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo ou um mínimo relativo ou nemhum desses. Suponha em cada caso que f seja contínua em toda parte.
f(x)=x e^1-x^2

Passo 1

Resumindo: queremos achar todos os pontos críticos de
f(x)=x,e^1-x^2
e, em cada ponto, descobrir se há máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum deles. O conteúdo aqui é derivadas de funções (regra do produto) e teste da segunda derivada.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f usando a regra do produto. Temos u(x)=x e v(x)=e^1-x^2, então
u'(x)=1, v'(x)=e^1-x^2cdot(-2x)
Logo,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = e^1-x^2 + xl(e^1-x^2(-2x)r) = e^1-x^2l(1-2x^2r)

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' não existe. Como e^1-x^2>0 para todo x, impomos
1-2x^2=0 Longrightarrow x^2=tfrac12 Longrightarrow x=pm tfrac1raiz2
Não há outros pontos críticos.

Passo 4

Para classificar, calculamos a segunda derivada. Derivando
f'(x)=e^1-x^2(1-2x^2),
usando produto e cadeia, obtemos
f''(x) = e^1-x^2l[-2x(1-2x^2)r] + e^1-x^2(-4x) = e^1-x^2l(4x^3-6xr) =2x,e^1-x^2,(2x^2-3)

Passo 5

Agora avaliamos f'' em cada ponto crítico:
f''!l(tfrac1raiz2r) =2cdottfrac1raiz2,e^1-tfrac12l(2cdottfrac12-3r) =2raiz2,e^tfrac12,(-2) <0 Longrightarrowmáximo relativo, á
f''!l(-tfrac1raiz2r) =2cdotl(-tfrac1raiz2r),e^tfrac12,(-2) =4raiz2,e^tfrac12 >0 Longrightarrowmínimo relativo í

Resposta

x=-1raiz2 to mínimo relativo.
x= 1raiz2 to máximo relativo.

Exercícios relacionados