Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{x y}

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
f(x,y) = x^{2} + y^{2} + \frac{2}{x\,y},
definida para x\neq0 e y\neq0, e então usar o teste da matriz hessiana para ver se cada ponto crítico é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso vamos precisar de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e do determinante da hessiana.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais primeiras e igualemos-nas a zero:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(x^2 + y^2 + 2(xy)^{-1}\Bigr) = 2x - 2\,\frac{1}{x^2y},
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(x^2 + y^2 + 2(xy)^{-1}\Bigr) = 2y - 2\,\frac{1}{xy^2}.
O sistema f_x=0,\;f_y=0 vira
2x = \frac{2}{x^2y} \quad\Longrightarrow\quad x^3y = 1,
2y = \frac{2}{xy^2} \quad\Longrightarrow\quad xy^3 = 1.

Passo 3

Do sistema
x^3y=1, \quad xy^3=1,
dividindo a primeira pela segunda vem
\frac{x^3y}{xy^3} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{y^2}=1 \;\Longrightarrow\; y = \pm x.
Se y=x, então x^4=1 x=\pm1 e y=\pm1 no mesmo sinal. Se y=-x, não há solução real. Logo os únicos críticos são
(1,1) \quad\text{e}\quad (-1,-1).

Passo 4

Agora as derivadas segundas para montar a matriz hessiana:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x - 2x^{-2}y^{-1}\bigr) = 2 + 4\,\frac{1}{x^3y},
f_{yy} = 2 + 4\,\frac{1}{xy^3},
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x - 2x^{-2}y^{-1}\bigr) = 2\,\frac{1}{x^2y^2}.

Passo 5

Em cada ponto crítico x^3y=1 e xy^3=1, então
f_{xx}=2+4=6, \quad f_{yy}=2+4=6, \quad f_{xy}=2.
O determinante da hessiana vale
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2 = 6\cdot6 - 2^2 = 36 - 4 = 32 > 0,
e f_{xx}=6>0. Pelo teste da hessiana, cada ponto onde D>0 e f_{xx}>0 é mínimo relativo.

Resposta

(1,1) é um mínimo relativo. (-1,-1) é um mínimo relativo.

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