Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
definida para
e
, e então usar o teste da matriz hessiana para ver se cada ponto crítico é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso vamos precisar de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e do determinante da hessiana.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais primeiras e igualemos-nas a zero:
O sistema
vira
Passo 3
Do sistema
dividindo a primeira pela segunda vem
Se
, então
dá
e
no mesmo sinal. Se
, não há solução real. Logo os únicos críticos são
Passo 4
Agora as derivadas segundas para montar a matriz hessiana:
Passo 5
Em cada ponto crítico
e
, então
O determinante da hessiana vale
e
. Pelo teste da hessiana, cada ponto onde
e
é mínimo relativo.