Esboce a região
limitada pelos gráficos das equações das equações dadas. Se
é contínua em
, e se for necessário, exprimir
como soma de duas integrais do tipo utilizada:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
limitada pelas curvas
e, supondo
contínua em
, expressar
como soma de duas integrais iteradas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas curvas e então escolher uma ordem de integração que nos force a dividir
em dois “pedaços” apropriados.
Passo 2
Calculemos as interseções:
- Entre
e . Substituindo em dá
Então o ponto é
.
2. Entre e
. Da reta
em
vem
2. Entre
Então o ponto é
.
3. Entre as retas e
. Igualando
obtemos
,
.
3. Entre as retas
Portanto os vértices de
são
.
Passo 3
Esboçando mentalmente (ou num papel) veremos que
tem “curva” parabólica de um lado
e dois lados formados pelas retas. Para fazer a integral é conveniente usar a ordem
. Note que
varia do mínimo
até o máximo
, mas a borda esquerda troca de curva em
, ponto em que as duas retas se cruzam. Assim dividimos em dois trechos de
:
- Se
, a borda esquerda é a reta (vinda de ) e a borda direita é . - Se
, a borda esquerda é a reta (vinda de ) e a borda direita continua sendo .
Passo 4
Logo,