Esboce a região \mathcal{R} limitada pelos gráficos das equações das equações dadas. Se f é contínua em \mathcal{R}, e se for necessário, exprimir \iint_{\mathcal{R}} f(x, y) como soma de duas integrais do tipo utilizada:
x=\sqrt{3-y}, y=2 x, x+y+3=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região \mathcal{R} limitada pelas curvas
x = \sqrt{3 - y},\quad y = 2x,\quad x + y + 3 = 0,
e, supondo f contínua em \mathcal{R}, expressar
\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,dA
como soma de duas integrais iteradas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas curvas e então escolher uma ordem de integração que nos force a dividir \mathcal{R} em dois “pedaços” apropriados.

Passo 2

Calculemos as interseções:
  1. Entre y=2x e x=\sqrt{3-y}. Substituindo y=2x em x = \sqrt{3 - y}
x = \sqrt{3 - 2x} \;\Longrightarrow\; x^2 + 2x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x=1\quad(\text{descartamos }x=-3).
Então o ponto é \,(1,2).
2. Entre x+y+3=0 e x=\sqrt{3-y}. Da reta y=-x-3 em x=\sqrt{3-y} vem
x = \sqrt{3 - (-x-3)} = \sqrt{x+6} \;\Longrightarrow\; x^2 - x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x=3\quad(\text{descartamos }x=-2).
Então o ponto é \,(3,-6).
3. Entre as retas y=2x e y=-x-3. Igualando 2x = -x-3 obtemos x=-1, y=-2.
Portanto os vértices de \mathcal{R} são (1,2),\;(-1,-2),\;(3,-6).

Passo 3

Esboçando mentalmente (ou num papel) veremos que \mathcal{R} tem “curva” parabólica de um lado x=\sqrt{3-y} e dois lados formados pelas retas. Para fazer a integral é conveniente usar a ordem dA = dx\,dy. Note que y varia do mínimo -6 até o máximo 2, mas a borda esquerda troca de curva em y=-2, ponto em que as duas retas se cruzam. Assim dividimos em dois trechos de y:
  • Se -6 \le y \le -2, a borda esquerda é a reta x = -y - 3 (vinda de x+y+3=0) e a borda direita é x = \sqrt{3 - y}.
  • Se -2 \le y \le 2, a borda esquerda é a reta x = y/2 (vinda de y=2x) e a borda direita continua sendo x = \sqrt{3 - y}.

Passo 4

Logo,
\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,dA = \int_{y=-6}^{-2}\!\!\int_{x=-y-3}^{\sqrt{3-y}} f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{y=-2}^{2}\!\!\int_{x=y/2}^{\sqrt{3-y}} f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,dA = \int_{y=-6}^{-2}\!\int_{x=-y-3}^{\sqrt{3-y}} f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{y=-2}^{2}\!\int_{x=y/2}^{\sqrt{3-y}} f(x,y)\,dx\,dy.

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