Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
f(x, y)=x y(12-4 x-3 y)

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
f(x,y)=x\,y\,(12-4x-3y)
e depois testar cada ponto (máximo relativo, mínimo relativo ou sela).
Conteúdo envolvido: derivadas parciais para encontrar pontos críticos ( \nabla f=0) e o teste de segunda derivada usando o Hessiano para classificação.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Usando regra do produto em f(x,y)=x\,y\,(12-4x-3y):
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\,y\,(12-4x-3y)\bigr] =y\,(12-4x-3y)+x\,y\,(-4) =12y-8xy-3y^2 =y\,(12-8x-3y),
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[x\,y\,(12-4x-3y)\bigr] =x\,(12-4x-3y)+x\,y\,(-3) =12x-4x^2-6xy =x\,(12-4x-6y).

Passo 3

Resolver o sistema
f_x=0,\quad f_y=0
isto é
y\,(12-8x-3y)=0,\quad x\,(12-4x-6y)=0.
Casos:
y=0\) dá \(x(12-4x)=0\implies x=0\) ou \(x=3\). Pontos \((0,0)\) e \((3,0)\). — \(x=0\) dá \(y(12-3y)=0\implies y=0\) ou \(y=4\). Pontos \((0,0)\) e \((0,4)\). — Nem \(x\) nem \(y\) zero: \[12-8x-3y=0,\quad 12-4x-6y=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 8x+3y=12,\\\\ 2x+3y=6, \end{cases}
subtraindo: 6x=6\implies x=1\], e daí \(2\cdot1+3y=6\implies y=\tfrac{4}{3}. Ponto \bigl(1,\tfrac{4}{3}\bigr).
Logo os críticos são
(0,0),\quad (3,0),\quad (0,4),\quad \Bigl(1,\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 4

Montar o Hessiano
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Derivando mais uma vez:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-8xy)=-8y, \quad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-6xy)=-6x,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,(12-8x-3y)\bigr) =12-8x-6y,
e f_{yx}=f_{xy}.
No ponto crítico, o discriminante é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2.
Se D>0 e f_{xx}>0 é mínimo, se D>0 e f_{xx}<0 é máximo, se D<0 é sela.

Passo 5

Avaliar em cada ponto:
  1. (0,0):
    \,f_{xx}=0,\;f_{yy}=0,\;f_{xy}=12\implies D=0\cdot0-12^2=-144<0 \;\to sela.
  2. (3,0):
    \,f_{xx}=0,\;f_{yy}=-18,\;f_{xy}=-12\implies D=0\cdot(-18)-(-12)^2=-144<0 \;\to sela.
  3. (0,4):
    \,f_{xx}=-32,\;f_{yy}=0,\;f_{xy}=-12\implies D=(-32)\cdot0-(-12)^2=-144<0 \;\to sela.
  4. \bigl(1,\tfrac{4}{3}\bigr):
    \,f_{xx}=-\tfrac{32}{3},\;f_{yy}=-6,\;f_{xy}=-4\implies D=\!(-\tfrac{32}{3})(-6)-(-4)^2=64-16=48>0
    e f_{xx}=-\tfrac{32}{3}<0 \;\to máximo relativo.

Resposta

(0,0): ponto de sela
(3,0): ponto de sela
(0,4): ponto de sela
\bigl(1,\tfrac{4}{3}\bigr): máximo relativo

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