Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
e em seguida usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Vamos usar o cálculo de derivadas parciais (para obter a condição de ponto crítico) e depois o teste da Hessiana.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia para computar as derivadas parciais de
. Como
com
, temos
Para ponto crítico, exigimos
e
. Como
para todo
, segue
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Para classificar
, montamos a matriz Hessiana
cujos elementos são as segundas derivadas de
:
Em
temos
, logo
O determinante principal de ordem 1 é
e o determinante da Hessiana é
Como
e
, a Hessiana é negativa definida em
, caracterizando um máximo relativo.]
Resposta
O único ponto crítico é
, que é ponto de máximo relativo.