Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
f(x,y)=e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+x^{2}\bigr)}=e^{-\bigl(2x^{2}+y^{2}\bigr)}
e em seguida usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Vamos usar o cálculo de derivadas parciais (para obter a condição de ponto crítico) e depois o teste da Hessiana.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para computar as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=-(2x^2+y^2), temos
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} =e^{-(2x^2+y^2)}\cdot (-4x) =-4x\,e^{-(2x^2+y^2)},
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} =e^{-(2x^2+y^2)}\cdot (-2y) =-2y\,e^{-(2x^2+y^2)}.
Para ponto crítico, exigimos \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Como e^{-(2x^2+y^2)}\neq0 para todo (x,y), segue
-4x\,e^{-(2x^2+y^2)}=0\implies x=0,
-2y\,e^{-(2x^2+y^2)}=0\implies y=0.
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Para classificar (0,0), montamos a matriz Hessiana H cujos elementos são as segundas derivadas de f:
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-4x\,e^{-(2x^2+y^2)}\bigr) =e^{-(2x^2+y^2)}\bigl(-4+16x^2\bigr),
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y\,e^{-(2x^2+y^2)}\bigr) =e^{-(2x^2+y^2)}\bigl(-2+4y^2\bigr),
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-4x\,e^{-(2x^2+y^2)}\bigr) =8xy\,e^{-(2x^2+y^2)}.
Em (0,0) temos e^{-(2\cdot0^2+0^2)}=1, logo
H(0,0) =\begin{pmatrix} f_{xx}(0,0)&f_{xy}(0,0)\\[6pt] f_{xy}(0,0)&f_{yy}(0,0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4&0\\[3pt] 0&-2 \end{pmatrix}.
O determinante principal de ordem 1 é \Delta_1=f_{xx}(0,0)=-4<0 e o determinante da Hessiana é
\Delta_2 =\det H(0,0) =(-4)\cdot(-2)-0\cdot0 =8>0.
Como \Delta_2>0 e \Delta_1<0, a Hessiana é negativa definida em (0,0), caracterizando um máximo relativo.]

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é ponto de máximo relativo.

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