Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
e depois classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema , equações trigonométricas, Hessiana e teste de segunda derivada.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema
Passo 2
Calcular as derivadas parciais e montar o sistema crítico.
Logo o sistema é
Da igualdade das duas equações segue
Passo 3
Resolver
. As soluções gerais são
-
, -
,
com.
Em cada caso impomos também.
Passo 4
Caso 1:
. Então
e a condição
vira
Usar a identidade
leva a
Duas subfamílias de soluções:
-
, isto é .
Então. -
, ou seja
ou .
E.
Passo 5
Caso 2:
. Da condição
vem
logo
. Analogamente
.
Então
Então
com
, e deve valer
.
Isso implica ímpar.
Isso implica
Passo 6
Para classificar pontos críticos, montamos a Hessiana de
:
O determinante da Hessiana é
Se
e
temos mínimo; se
e
temos máximo; se
temos ponto de sela.
Passo 7
Avaliar Hessiana em cada família:
- Da subfamília
com e :
, .
Então
-
Da subfamília
com , :
nota-se que parapar temos (sela) e para ímpar temos com (mínimo). -
Caso 2
e :
sempre resulta, ou seja ponto de sela.
Passo 8
Reunindo tudo (com
):
– Máximos relativos em
e .
e
– Mínimos relativos em
(isto é o caso com
ímpar).
(isto é o caso
– Pontos de sela em
-
-
comímpar (caso ).
Resposta
Máximos relativos:
Mínimos relativos:
Pontos de sela:
e com
ímpar.
e