Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada ponto crítico para verificar se ele corresponde a um máximo relativo ou minimo relativo ou ponto de sela:
f(x, y)=\sin (x)+\sin (y)+\cos (x+y)

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
f(x,y)=\sin(x)+\sin(y)+\cos(x+y)
e depois classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema \nabla f=0, equações trigonométricas, Hessiana e teste de segunda derivada.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e montar o sistema crítico.
f_x = \frac{\partial }{\partial x}\bigl[\sin(x)+\sin(y)+\cos(x+y)\bigr] =\cos(x)-\sin(x+y)=0,
f_y = \frac{\partial }{\partial y}\bigl[\sin(x)+\sin(y)+\cos(x+y)\bigr] =\cos(y)-\sin(x+y)=0.
Logo o sistema é
\begin{cases} \cos(x)=\sin(x+y),\\\ \cos(y)=\sin(x+y). \end{cases}
Da igualdade das duas equações segue
\cos(x)=\cos(y).

Passo 3

Resolver \cos(x)=\cos(y). As soluções gerais são
  1. x - y = 2\pi k,
  2. x + y = 2\pi k,
    com k\in\mathbb{Z}.
    Em cada caso impomos também \sin(x+y)=\cos(x).

Passo 4

Caso 1: x = y + 2\pi k. Então x+y = 2y + 2\pi k e a condição \sin(x+y)=\cos(x)=\cos(y) vira
\sin(2y)=\cos(y).
Usar a identidade \sin(2y)=2\sin y\cos y leva a
2\sin y\cos y = \cos y \quad\Longrightarrow\quad \cos y\bigl(2\sin y-1\bigr)=0.
Duas subfamílias de soluções:
  1. \cos y=0, isto é y=\tfrac{\pi}{2}+\pi n.
    Então x=y+2\pi k=\tfrac{\pi}{2}+\pi n+2\pi k.
  2. \sin y=\tfrac12, ou seja
    y=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n ou y=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n.
    E x=y+2\pi k.

Passo 5

Caso 2: x+y=2\pi k. Da condição \sin(x+y)=\cos(x) vem
\sin(2\pi k)=0=\cos(x),
logo \cos(x)=0. Analogamente \cos(y)=\sin(x+y)=0.
Então
x=\tfrac{\pi}{2}+\pi\,k,\quad y=\tfrac{\pi}{2}+\pi\,\ell,
com k,\ell\in\mathbb{Z}, e deve valer x+y=2\pi m.
Isso implica k+\ell ímpar.

Passo 6

Para classificar pontos críticos, montamos a Hessiana de f:
f_{xx}=-\sin(x)-\cos(x+y),\quad f_{yy}=-\sin(y)-\cos(x+y),\quad f_{xy}=-\cos(x+y).
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.
Se D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo; se D>0 e f_{xx}<0 temos máximo; se D<0 temos ponto de sela.

Passo 7

Avaliar Hessiana em cada família:
  1. Da subfamília \sin y=\tfrac12 com y\in\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\} e x=y+2\pi k:
    \sin y=1/2, \cos(x+y)=\cos(2y)=\tfrac12.
    Então
f_{xx}= -\tfrac12 - \tfrac12 = -1,\quad f_{yy}= -\tfrac12 - \tfrac12 = -1,\quad f_{xy}=-\tfrac12,
D = (-1)(-1)-\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 =1-\tfrac14=\tfrac34>0,\quad f_{xx}<0 \;\Longrightarrow\;\text{máximo relativo.}á
  1. Da subfamília \cos y=0 com y=\tfrac{\pi}{2}+\pi n, x=y+2\pi k:
    nota-se que para n par temos D<0 (sela) e para n ímpar temos D>0 com f_{xx}>0 (mínimo).
  2. Caso 2 x+y=2\pi m e \cos x=\cos y=0:
    sempre resulta D<0, ou seja ponto de sela.

Passo 8

Reunindo tudo (com k,n,m\in\mathbb{Z}):
– Máximos relativos em \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{6}+2\pi n,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\bigr)
e \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n\bigr).
– Mínimos relativos em \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n,\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\bigr)
(isto é o caso \cos y=0 com n ímpar).
– Pontos de sela em
  1. \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n,\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)
  2. \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\;\tfrac{\pi}{2}+\pi \ell\bigr)
    com k+\ell ímpar (caso x+y=2\pi m).

Resposta

Máximos relativos: \displaystyle\bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{6}+2\pi n,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\bigr) \displaystyle\bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n\bigr)
Mínimos relativos: \displaystyle\bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n,\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\bigr)
Pontos de sela: \displaystyle\bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n,\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)
e \displaystyle\bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\tfrac{\pi}{2}+\pi \ell\bigr) com k+\ell ímpar.

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