Encontre todos os pontos interiores, pontos de acumulação, pontos isolados e pontos de fronteira de cada um dos conjuntos a seguir. (0,1) \cup(1,2) \cup(2,3) \cup(3,4) \cup \cdots \cup(n, n+1) \cup \cdots
Passo 1
O enunciado define o conjunto
S = (0,1)\cup(1,2)\cup(2,3)\cup\cdots\cup(n,n+1)\cup\cdots
no espaço métrico usual \mathbb{R}, e pede que a gente encontre os pontos interiores de S, os pontos de acumulação (ou pontos-limite), os pontos isolados e os pontos de fronteira. Vamos usar conceitos de topologia em \mathbb{R}: conjunto aberto, fecho, interior, fronteira e definição de ponto de acumulação e ponto isolado.
Passo 2
Para achar os pontos interiores lembramos que um ponto x é interior a S se existe um raio \delta>0 tal que (x-\delta,x+\delta)\subset S. Cada parte (n,n+1) é um intervalo aberto, portanto todos os pontos de (n,n+1) admitem um pequeno raio dentro dele. Como
S=\bigcup_{n=0}^{\infty}(n,n+1)
é união de abertos, S é aberto em \mathbb{R}. Logo
Um ponto x é de acumulação de S se toda vizinhança de x contém algum ponto y\neq x em S. O fecho de S é dado pela união dos fechamentos de cada intervalo:
Em \mathbb{R}, todo ponto de [0,\infty) satisfaz a condição de acumulação (mesmo os inteiros, pois qualquer vizinhança deles cruza tocando o intervalo à esquerda ou à direita). Portanto
\text{Pontos de acumulação}(S)=[0,\infty).çã
Passo 4
Um ponto x\in S é isolado se existe \delta>0 tal que (x-\delta,x+\delta)\cap S=\{x\}. Mas todo x\in S está num intervalo aberto (n,n+1), então em qualquer vizinhança cabem infinitos outros pontos de S. Além disso, as extremidades n não pertencem a S. Logo não há pontos isolados:
Os únicos pontos que ficam são as extremidades dos intervalos, isto é,
\partial S=\{0,1,2,3,\dots\}.
Resposta
Pontos interiores: \displaystyle\bigcup_{n=0}^{\infty}(n,n+1).
Pontos de acumulação: [0,\infty).
Pontos isolados: \varnothing.
Pontos de fronteira: \{0,1,2,3,\dots\}.