Sejam A=(0,1) e B=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine:
\operatorname{int}(B)

Passo 1

O enunciado define os conjuntos A=(0,1) e
B = \bigl\{\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\bigr\}
no espaço topológico \mathbb{R} com a topologia usual. Pede-se determinar \operatorname{int}(B), isto é, a parte interior de B.

Passo 2

Por definição, um ponto x\in B pertence a \operatorname{int}(B) se existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto
(x-\varepsilon,\;x+\varepsilon)
esteja inteiramente contido em B.

Passo 3

Seja x\in B. Então x=\tfrac{1}{n} para algum n\in\mathbb{N}. Tome qualquer \varepsilon>0. O intervalo \bigl(\tfrac{1}{n}-\varepsilon,\tfrac{1}{n}+\varepsilon\bigr) contém infinitos pontos de \mathbb{R} que não são da forma \tfrac{1}{k}. Logo, não há \varepsilon>0 que faça
\bigl(\tfrac{1}{n}-\varepsilon,\tfrac{1}{n}+\varepsilon\bigr)\subset B.
Isso vale para todo x\in B, o que implica que nenhum ponto de B é interior.

Resposta

\varnothing

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