Encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.
x^2(1-x) y'' + (x-2) y' - 3x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os pontos singulares da equação diferencial e dizer se cada um deles é regular ou irregular. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais ordinárias, especificamente sobre pontos singulares em EDOs de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como identificar esses pontos e classificar sua regularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de segunda ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por :

Passo 3

Agora, identificamos as funções e :

Passo 4

Os pontos singulares são os valores de onde as funções ou apresentam descontinuidades, ou seja, onde o denominador se anula. Observando os denominadores:
Isso acontece quando ou .

Passo 5

Agora, vamos classificar cada ponto singular como regular ou irregular. Um ponto singular é regular se:
são analíticos em .
Vamos verificar para cada ponto:
Para :
Aqui, ainda temos uma divisão por zero quando se aproxima de 0, o que indica que é um ponto singular irregular.
Para :
E,
Ambas as expressões são analíticas em , então é um ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares da equação são e . O ponto é singular irregular e o ponto é singular regular.

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