Encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os pontos singulares da equação diferencial
e dizer se cada um deles é regular ou irregular. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais ordinárias, especificamente sobre pontos singulares em EDOs de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como identificar esses pontos e classificar sua regularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de segunda ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por
:
Passo 3
Agora, identificamos as funções
e
:
Passo 4
Os pontos singulares são os valores de
onde as funções
ou
apresentam descontinuidades, ou seja, onde o denominador se anula. Observando os denominadores:
Isso acontece quando
ou
.
Passo 5
Agora, vamos classificar cada ponto singular como regular ou irregular. Um ponto singular
é regular se:
são analíticos em
.
Vamos verificar para cada ponto:
Para
:
Aqui, ainda temos uma divisão por zero quando
se aproxima de 0, o que indica que
é um ponto singular irregular.
Para
:
E,
Ambas as expressões são analíticas em
, então
é um ponto singular regular.
Resposta
Os pontos singulares da equação são
e
. O ponto
é singular irregular e o ponto
é singular regular.