Converta para coordenadas polares e calcule os limites.
f) lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite . A gente vai usar coordenadas polares para facilitar. Basicamente, coordenadas polares são uma forma de representar pontos no plano usando a distância do ponto até a origem (chamada de ) e o ângulo que esse ponto faz com o eixo positivo . Para resolver isso, vamos converter e para e e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = r costheta y = r sintheta para polares x^2 + y^2 = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = r^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^2 :
E, claro, a soma dos quadrados fica:
Então, simplifica pra .

Passo 3

Agora, substituímos sen(x^2+y^2)x^2+y^2 = sen(r^2)r^2 e limr to 0 sen(r^2)r^2 na função original:
Então, nosso limite agora fica:

Passo 4

Para calcular esse limite, usamos um fato importante sobre limites envolvendo o seno:
Aqui, podemos fazer uma substituição onde limu to 0 sen uu = 1 . Quando limr to 0 sen(r^2)r^2 = limu to 0 sen uu = 1 tende a 0, também tende a 0. Assim, nosso limite fica:

Resposta

O limite é igual a 1.

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