Converta para coordenadas polares e calcule os limites.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite . A gente vai usar coordenadas polares para facilitar. Basicamente, coordenadas polares são uma forma de representar pontos no plano usando a distância do ponto até a origem (chamada de
) e o ângulo
que esse ponto faz com o eixo positivo
. Para resolver isso, vamos converter
e
para
e
e então calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
:
E, claro, a soma dos quadrados fica:
Então,
simplifica pra
.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na função original:
Então, nosso limite agora fica:
Passo 4
Para calcular esse limite, usamos um fato importante sobre limites envolvendo o seno:
Aqui, podemos fazer uma substituição onde
. Quando
tende a 0,
também tende a 0. Assim, nosso limite fica:
Resposta
O limite é igual a 1.