Encontre todos os primos da forma a^{4}-b^{4} com a e b inteiros positivos.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números primos que podem ser escritos como
a^{4}-b^{4}
com a e b inteiros positivos. O conteúdo principal aqui é a fatoração de diferença de potências, mais precisamente de quarta potência. Vamos usar isso para ver se o número pode ser primo.

Passo 2

Aplicando a fatoração de diferença de quadrados duas vezes, temos
a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})
e em seguida
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
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a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2}).

Passo 3

Se a^{4}-b^{4} fosse primo, um dos três fatores (a-b), (a+b) ou (a^{2}+b^{2}) teria de valer 1 e os outros dois haveriam de multiplicar-se para dar esse primo. Mas, para a> b\ge1:
  • a-b\ge1, sendo exatamente 1 somente quando a=b+1.
  • Nesse caso, a+b=2b+1\ge3 e a^{2}+b^{2}=2b^{2}+2b+1\ge5.
    Portanto, mesmo que a-b=1, os outros dois fatores são \ge3 e \ge5, e o produto é \ge15, logo composto.
    Para a\le b temos a^{4}-b^{4}\le0, que também não é primo positivo.

Resposta

Não existe nenhum primo da forma a^{4}-b^{4} com a e b inteiros positivos.

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