Encontre todos os primos da forma
com
e
inteiros positivos.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os números primos que podem ser escritos como
com
e
inteiros positivos. O conteúdo principal aqui é a fatoração de diferença de potências, mais precisamente de quarta potência. Vamos usar isso para ver se o número pode ser primo.
Passo 2
Aplicando a fatoração de diferença de quadrados duas vezes, temos
e em seguida
logo
Passo 3
Se
fosse primo, um dos três fatores
,
ou
teria de valer
e os outros dois haveriam de multiplicar-se para dar esse primo. Mas, para
:
-
, sendo exatamente somente quando . - Nesse caso,
e .
Portanto, mesmo que, os outros dois fatores são e , e o produto é , logo composto.
Paratemos , que também não é primo positivo.
Resposta
Não existe nenhum primo da forma
com
e
inteiros positivos.