Qual o algarismo das unidades de n=33^{43}+43^{33} ?

Passo 1

O enunciado pede o algarismo das unidades de
n = 33^{43} + 43^{33}.
Para isso, vamos usar o fato de que o algarismo das unidades de uma potência depende apenas da base módulo 10 e do expoente módulo 4 (pois \varphi(10)=4), explorando o ciclo de repetição dos dígitos.

Passo 2

Para 33^{43}, primeiro reduzimos a base em módulo 10:
33 \equiv 3 \pmod{10}.
O ciclo de 3^k\pmod{10} tem comprimento 4, com
3^1\equiv3,\quad3^2\equiv9,\quad3^3\equiv7,\quad3^4\equiv1\pmod{10}.
Como 43 \bmod4 = 3, temos
33^{43}\equiv 3^{43}\equiv 3^3\equiv7\pmod{10}.

Passo 3

Para 43^{33}, semelhante:
43\equiv3\pmod{10},
o ciclo de 3^k\pmod{10} é o mesmo. Agora 33\bmod4=1, então
43^{33}\equiv3^{33}\equiv3^1\equiv3\pmod{10}.

Passo 4

Somando as unidades:
7 + 3 = 10,
logo o algarismo das unidades de n é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados