Mostre que nenhum inteiro da forma
é primo, exceto
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para inteiro
, o valor
só é primo nos casos em que
(dá
) e
(dá
). O conteúdo usado será a fatoração de soma de cubos e o fato de que, se um produto de dois inteiros é primo, então um dos fatores deve ser
.
Passo 2
Usamos a identidade de soma de cubos, com
e
:
Passo 3
Portanto
Para que
seja primo (ou seja, não tenha divisores próprios), um dos fatores
ou
deve valer
.
Passo 4
Resolvemos as possíveis igualdades a
:
-
dá , que gera (não é primo). -
dá , que gera . -
leva a , logo (já visto) ou , que dá . -
não tem solução inteira.
Passo 5
Dos casos acima, só restam
, com
, e
, com
. Para todo outro
, ambos os fatores têm valor absoluto maior que 1, tornando
composto.
Resposta
Os únicos
tais que
é primo são
(onde
) e
(onde
).