Mostre que nenhum inteiro da forma n^{3}+1 é primo, exceto 2=1^{3}+1 e -7=(-2)^{3}+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro n, o valor
n^3 + 1
só é primo nos casos em que n=1 (dá 2) e n=-2 (dá -7). O conteúdo usado será a fatoração de soma de cubos e o fato de que, se um produto de dois inteiros é primo, então um dos fatores deve ser \pm1.

Passo 2

Usamos a identidade de soma de cubos, com a=n e b=1:
n^3 + 1^3 = (n+1)\bigl(n^2 - n\cdot1 + 1^2\bigr).

Passo 3

Portanto
n^3 + 1 = (n+1)\,(n^2 - n + 1).
Para que n^3+1 seja primo (ou seja, não tenha divisores próprios), um dos fatores (n+1) ou (n^2 - n +1) deve valer \pm1.

Passo 4

Resolvemos as possíveis igualdades a \pm1:
  1. n+1 = 1 n=0, que gera n^3+1=1 (não é primo).
  2. n+1 = -1 n=-2, que gera n^3+1=-7.
  3. n^2 - n +1 = 1 leva a n(n-1)=0, logo n=0 (já visto) ou n=1, que dá n^3+1=2.
  4. n^2 - n +1 = -1 não tem solução inteira.

Passo 5

Dos casos acima, só restam n=1, com n^3+1=2, e n=-2, com n^3+1=-7. Para todo outro n, ambos os fatores têm valor absoluto maior que 1, tornando n^3+1 composto.

Resposta

Os únicos n tais que n^3+1 é primo são n=1 (onde n^3+1=2) e n=-2 (onde n^3+1=-7).

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