Encontre todos os valores complexos z que satisfaçam a equação dada.
(c) \operatorname{sen} z=\cos z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os z\in\mathbb{C} tais que
\sin z = \cos z.
O conteúdo é resolução de equação trigonométrica no plano complexo. Vamos usar identidades trigonométricas e a periodicidade de \sin e \cos.

Passo 2

Reescrevemos a igualdade agrupando em uma só função. Usamos a identidade
\sin z - \cos z = \sqrt{2}\,\sin\!\bigl(z - \tfrac{\pi}{4}\bigr),
que decorre de \sin A\cos B - \cos A\sin B = \sin(A-B) com A=z e B=\pi/4. Assim
\sin z = \cos z \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{2}\,\sin\!\bigl(z - \tfrac{\pi}{4}\bigr)=0.

Passo 3

Sabemos que, para w\in\mathbb{C},
\sin w = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad w = k\pi, \quad k\in\mathbb{Z},
pois os zeros de \sin no plano complexo são exatamente múltiplos inteiros de \pi.

Passo 4

Aplicando com w = z - \tfrac{\pi}{4}, obtemos
z - \tfrac{\pi}{4} = k\pi, \quad k\in\mathbb{Z},
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z = \tfrac{\pi}{4} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

Todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem \sin z=\cos z são
\boxed{z = \tfrac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.}

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