Encontre todos os valores complexos z que satisfaçam a equação dada.
(b) \cos z=4

Passo 1

O enunciado pede todos os z\in\mathbb{C} tais que
\cos z = 4.
O conteúdo envolvido é análise complexa, usando a definição exponencial de \cos z:
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.

Passo 2

Substituindo essa definição na equação, temos
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = 4
e multiplicando por 2:
e^{iz} + e^{-iz} = 8.
Para simplificar, faça a mudança de variável t = e^{iz}. Então e^{-iz} = 1/t e a equação vira
t + \frac{1}{t} = 8.

Passo 3

Reescrevendo em forma de equação quadrática em t:
t^2 - 8t + 1 = 0.
As raízes dessa equação são
t = 4 \pm \sqrt{4^2 - 1} = 4 \pm \sqrt{15}.

Passo 4

Voltando à variável original, temos
e^{iz} = 4 \pm \sqrt{15}.
Logo
iz = \ln\bigl(4 \pm \sqrt{15}\bigr) + 2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z},
e daí
z = -\,i\,\ln\bigl(4 \pm \sqrt{15}\bigr) + 2\pi k.

Passo 5

Observe que, por definição de arco cosseno hiperbólico,
\operatorname{arccosh}(4) = \ln\bigl(4 + \sqrt{4^2 - 1}\bigr) = \ln\bigl(4 + \sqrt{15}\bigr),
e portanto
\ln\bigl(4 \pm \sqrt{15}\bigr) = \pm \operatorname{arccosh}(4).
Substituindo, obtemos a solução geral
z = 2\pi k \;\pm\; i\,\operatorname{arccosh}(4),\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

z = 2\pi k \pm i\,\operatorname{arccosh}(4), com k\in\mathbb{Z}.

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