Encontre todos os valores complexos z que satisfaçam a equação dada.
(c) \operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os z\in\mathbb{C} tais que
\senh z = \operatorname{cosh} z.
O conteúdo usado aqui são as definições de senh e cosh em termos de exponenciais:
\senh z = \frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, \quad \operatorname{cosh} z = \frac{e^{z}+e^{-z}}{2}.

Passo 2

Substituindo as definições na equação \senh z = \operatorname{cosh} z, obtemos
\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} \;=\;\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e agrupando termos, vem
e^{z} - e^{-z} = e^{z} + e^{-z} \quad\Longrightarrow\quad -e^{-z} = +\,e^{-z} \quad\Longrightarrow\quad 2\,e^{-z} = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{-z} = 0.

Passo 4

Sabemos que a função exponencial nunca zera para nenhum z\in\mathbb{C}. Logo, a condição e^{-z}=0 não pode ser satisfeita.

Resposta

Não existe nenhum z\in\mathbb{C} tal que \senh z = \operatorname{cosh} z.

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