Encontre todos os valores de x no intervalo [0,2 pi] que satisfaçam a equação.
72. 2+cos 2 x=3 cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
2 + cos 2x = 3cos x
no intervalo [0,2pi]. Vamos usar identidade de ângulo duplo e depois resolver uma equação quadrática em cos x.

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos 2x = 2cos^2 x - 1
na equação original. Isso dá
2 + (2cos^2 x - 1) = 3cos x

Passo 3

Simplificando o lado esquerdo, temos
2cos^2 x + 1 = 3cos x
ou seja
2cos^2 x - 3cos x + 1 = 0

Passo 4

Definimos t = cos x. A equação fica
2t^2 - 3t + 1 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
t = 3 pm raiz9 - 84 = 3 pm 14,
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t = 1 ou t = tfrac12

Passo 5

Para cos x = 1, as soluções gerais são
x = 2pi k, kinZ
No intervalo [0,2pi] isso dá
x = 0,;2pi

Passo 6

Para cos x = tfrac12, as soluções gerais são
x = pm tfracpi3 + 2pi k, kinZ
No intervalo [0,2pi] isso dá
x = tfracpi3,;tfrac5pi3

Resposta

As soluções em [0,2pi] são
x = 0,;pi3,;5pi3,;2pi

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