Use o método do Problema 25 para resolver a equação dada para t>0.
$t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em t>0, a equação de Euler–Cauchy
t^2y''+3t,y'-3y=0
O conteúdo envolvido é a técnica de tentar uma solução da forma y=t^m, aproveitando que os coeficientes são potências de t.

Passo 2

Suponha
y(t)=t^m
Então
y'(t)=m,t^m-1, y''(t)=m(m-1),t^m-2

Passo 3

Substituindo em
;t^2y''+3t,y'-3y=0:
t^2l[m(m-1)t^m-2r]+3tl[m,t^m-1r]-3,t^m=0
l[m(m-1)+3m-3r],t^m=0
Como t^mneq0 em t>0, obtemos a equação característica
m(m-1)+3m-3=0

Passo 4

Resolva
m^2-m+3m-3=0 Longrightarrow m^2+2m-3=0
As raízes são
m=-2pmraiz4+122 =-2pm42,
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m1=1, m2=-3

Passo 5

As soluções independentes são t^m1=t e t^m2=t^-3. Portanto, a solução geral da ODE é
y(t)=C1,t+C2,t^-3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1,t+C2,t^-3

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