Use o método do Problema 25 para resolver a equação dada para
.
$t^{2} y^{\prime \prime}+7 t y^{\prime}+10 y=0
$t^{2} y^{\prime \prime}+7 t y^{\prime}+10 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a equação de Euler–Cauchy
O método é assumir uma solução da forma
, obter a equação característica em
e então escrever a solução geral conforme as raízes obtidas.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo na equação diferencial:
o que simplifica para
Como
, a equação característica é
Passo 3
Expandindo a equação característica:
Calculando as raízes:
Passo 4
Para raízes complexas
com
e
, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é
Substituindo
e
, obtemos a solução específica: