Use o método do Problema 25 para resolver a equação dada para t>0.
$t^{2} y^{\prime \prime}+7 t y^{\prime}+10 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em t>0, a equação de Euler–Cauchy
t^2y'' + 7t,y' + 10y = 0
O método é assumir uma solução da forma y = t^r, obter a equação característica em r e então escrever a solução geral conforme as raízes obtidas.

Passo 2

Assumindo y = t^r, temos
y' = r,t^r-1,
y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação diferencial:
t^2l[r(r-1),t^r-2r] + 7tl[r,t^r-1r] + 10,t^r = 0
o que simplifica para
l[r(r-1)+7r+10r],t^r = 0
Como t^rneq0, a equação característica é
r(r-1) + 7r + 10 = 0

Passo 3

Expandindo a equação característica:
r^2 - r + 7r + 10 = r^2 + 6r + 10 = 0
Calculando as raízes:
r = -6 pm raiz6^2 - 4cdot1cdot102 = -6 pm raiz36 - 402 = -6 pm raiz-42 = -3 pm i

Passo 4

Para raízes complexas r = alpha pm ibeta com alpha = -3 e beta = 1, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é
y(t) = t^alphal[C1cosl(betaln tr) + C2sinl(betaln tr)r]
Substituindo alpha e beta, obtemos a solução específica:

Resposta

boxedy(t) = t^-3l(C1cos(ln t) + C2sin(ln t)r), t>0

Exercícios relacionados