Encontre todos os valores da potência complexa dada. Em seguida destaque o valor principal.
(b) 3^{2 i / \pi}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de
3^{2i/\pi}
e destacar o valor principal. O conteúdo envolvido é a definição de potência complexa via exponenciação e logaritmo complexo, considerando que \Log z é multi-valorado. Vamos usar a representação
a^b = \exp\bigl(b\,\Log a\bigr)
e a forma geral do logaritmo de um número real positivo.

Passo 2

Usando
3^{2i/\pi} = \exp\!\Bigl(\frac{2i}{\pi}\,\Log 3\Bigr),
escrevemos a forma multi-valorada de \Log 3. Como 3>0,
\Log 3 = \ln 3 + 2\pi i k,
com k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Substituindo em
\exp\!\Bigl(\frac{2i}{\pi}(\ln 3 + 2\pi i k)\Bigr)
obtemos
\exp\!\Bigl(\frac{2i\ln 3}{\pi} - 4k\Bigr),
pois
\frac{2i}{\pi}\cdot 2\pi i k = -4k.

Passo 4

Isolando as partes real e imaginária no expoente,
\exp\!\Bigl(\frac{2i\ln 3}{\pi} - 4k\Bigr) = e^{-4k}\,\exp\!\Bigl(i\,\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr) = e^{-4k}\Bigl[\cos\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr)\Bigr].
Logo, o conjunto de todos os valores é
\bigl\{\,e^{-4k}\,\exp\!\bigl(i\,\tfrac{2\ln 3}{\pi}\bigr)\mid k\in\mathbb{Z}\bigr\} = \bigl\{\,e^{-4k}\bigl[\cos(\tfrac{2\ln 3}{\pi})+i\sin(\tfrac{2\ln 3}{\pi})\bigr]\mid k\in\mathbb{Z}\bigr\}.

Passo 5

O valor principal corresponde a escolher k=0. Assim,
3^{2i/\pi}\Big|_{\text{princ.}} = e^{\,i\,\frac{2\ln 3}{\pi}} = \cos\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr).

Resposta

Todos os valores são
3^{2i/\pi} = e^{-4k}\,\exp\!\Bigl(i\,\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr) = e^{-4k}\Bigl[\cos\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr)\Bigr], \quad k\in\mathbb{Z}.
Valor principal (para k=0):
\boxed{ e^{\,i\,\frac{2\ln 3}{\pi}} =\cos\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\frac{2\ln 3}{\pi}\Bigr) }.

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