Encontre todos os valores da potência complexa dada. Em seguida destaque o valor principal.
(a) (-1)^{3 i}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de
(-1)^{3i}
usando a definição de potência complexa e, em seguida, destacar o valor principal. Vamos aplicar a fórmula
z^{w} = \exp\bigl(w\,\Log(z)\bigr),
onde \Log(z) é o logaritmo complexo multivalorado.

Passo 2

Aplicando a definição de potência complexa, temos
(-1)^{3i} = \exp\bigl(3i\,\Log(-1)\bigr).

Passo 3

Para computar \Log(-1), lembramos que
\Log(z) = \ln|z| + i\bigl(\Arg(z) + 2\pi k\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.
Como |{-1}|=1 e \Arg(-1)=\pi (princípio), obtemos
\Log(-1) = \ln1 + i(\pi + 2\pi k) = i\bigl(\pi + 2\pi k\bigr).

Passo 4

Substituindo \Log(-1) em (-1)^{3i}, vem
(-1)^{3i} = \exp\bigl(3i \cdot i(\pi+2\pi k)\bigr) = \exp\bigl(-3(\pi+2\pi k)\bigr) = \exp\bigl(-3(2k+1)\pi\bigr).

Passo 5

Portanto, todos os valores de (-1)^{3i} são
\exp\bigl(-3(2k+1)\pi\bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.
O valor principal corresponde a k=0, ou seja,
\exp\bigl(-3\pi\bigr).

Resposta

Todos os valores: \exp\bigl(-3(2k+1)\pi\bigr), k\in\mathbb{Z}.
Valor principal: \exp\bigl(-3\pi\bigr).

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