Encontre todos os valores da potência complexa dada. Em seguida destaque o valor principal.
(d) 2^{4 i}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de \;2^{4i}, e destacar o valor principal. O conteúdo requerido é a definição de potência complexa usando exponencial e logaritmo complexo, já que o logaritmo em geral é multi-valorado.

Passo 2

Pela definição de potência complexa, para base real positiva a e expoente complexo z vale
a^z = e^{\,z\,\Log a},
onde o logaritmo complexo multi-valorado é
\Log a = \ln a + 2\pi i k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

No nosso caso temos a=2 e z=4i. Substituindo,
2^{4i} = e^{4i\,\bigl(\ln 2 + 2\pi i k\bigr)} = e^{4i\ln 2 - 8\pi k} = e^{-8\pi k}\,\bigl(e^{4i\ln 2}\bigr),
com k\in\mathbb{Z}. Isso dá todos os valores da potência.

Passo 4

O valor principal corresponde a escolher k=0. Assim
2^{4i}\Big|_{\mathrm{principal}} = e^{4i\ln 2} = \cos\bigl(4\ln 2\bigr) + i\,\sin\bigl(4\ln 2\bigr).

Resposta

Os valores de 2^{4i} são
2^{4i} = e^{-8\pi k}\,e^{4i\ln 2}, \quad k\in\mathbb{Z},
e o valor principal é
e^{4i\ln 2} = \cos\bigl(4\ln 2\bigr) + i\,\sin\bigl(4\ln 2\bigr).

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