Encontre todos os valores da potência complexa dada. Em seguida destaque o valor principal.
(e) (1+i)^{2-i}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as “raízes” da potência complexa
(1+i)^{2-i}
e em seguida destacar o valor principal.
O conteúdo requerido é a definição de potência de um número complexo z^w=\exp\bigl(w\,\Log z\bigr), onde
\Log z=\ln|z|+i\bigl(\Arg z+2\pi k\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.
Para resolver, vamos:
  1. escrever 1+i em forma polar;
  2. aplicar a fórmula acima e separar as partes real e imaginária do expoente;
  3. extrair todas as soluções e indicar o caso k=0 como a principal.

Passo 2

Escrevemos 1+i em forma polar.
O módulo é
r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2},
e o argumento principal é
\Arg(1+i) = \frac{\pi}{4}.
Portanto
1+i = \sqrt{2}\,e^{\,i\pi/4}.

Passo 3

Pela definição, para todo k\in\mathbb{Z},
(1+i)^{2-i} =\exp\Bigl((2-i)\,\bigl[\ln(\sqrt{2})+i(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k)\bigr]\Bigr).

Passo 4

Calculemos o produto
(2-i)\bigl[\ln\sqrt{2}+i(\tfrac\pi4+2\pi k)\bigr].
Usando \ln\sqrt{2}=\tfrac12\ln2 e i^2=-1, temos
\begin{aligned} &2\ln\sqrt{2} \;+\;2\,i\bigl(\tfrac\pi4+2\pi k\bigr) \;-\;i\,\ln\sqrt{2} \;-\;i^2\bigl(\tfrac\pi4+2\pi k\bigr)\\[6pt] &\;=\;\underbrace{2\ln\sqrt{2}+\bigl(\tfrac\pi4+2\pi k\bigr)}_{\text{parte real}} \;+\;i\underbrace{\Bigl(2(\tfrac\pi4+2\pi k)-\ln\sqrt{2}\Bigr)}_{\text{parte imaginária}}. \end{aligned}á
Simplificando 2\ln\sqrt{2}=\ln2, fica
\text{Re}= \ln2+\frac\pi4+2\pi k, \quad \text{Im}= \frac\pi2+4\pi k-\frac12\ln2.]

Passo 5

Logo todas as soluções são
(1+i)^{2-i} =\exp\bigl(\ln2+\tfrac\pi4+2\pi k\bigr)\, \exp\bigl[i\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2+4\pi k\bigr)\bigr].
Como \exp(\ln2+\tfrac\pi4+2\pi k)=2\,e^{\pi/4}\,e^{2\pi k} e \exp[i(\theta+4\pi k)]=e^{i\theta}, podemos reescrever
(1+i)^{2-i} =2\,e^{\pi/4+2\pi k}\,\bigl[\cos\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr) +i\sin\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr)\bigr],\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

O valor principal corresponde a escolher k=0. Assim
\boxed{ (1+i)^{2-i}\big|_{\text{principal}} =2\,e^{\pi/4}\,\Bigl[\cos\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr) +i\sin\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr)\Bigr]. }

Resposta

Todas as soluções:
(1+i)^{2-i} =2\,e^{\pi/4+2\pi k}\,\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr) +i\sin\!\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr)\Bigr], \quad k\in\mathbb{Z}.
Valor principal (k=0):
2\,e^{\pi/4}\,\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr) +i\sin\!\bigl(\tfrac\pi2-\tfrac12\ln2\bigr)\Bigr].

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