Encontre todos os valores da potência complexa dada. Em seguida destaque o valor principal.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as “raízes” da potência complexa
e em seguida destacar o valor principal.
O conteúdo requerido é a definição de potência de um número complexo , onde
O conteúdo requerido é a definição de potência de um número complexo , onde
Para resolver, vamos:
- escrever
em forma polar; - aplicar a fórmula acima e separar as partes real e imaginária do expoente;
- extrair todas as soluções e indicar o caso
como a principal.
Passo 2
Escrevemos
em forma polar.
O módulo é
O módulo é
e o argumento principal é
Portanto
Passo 3
Pela definição, para todo
,
Passo 4
Calculemos o produto
Usando
e
, temos
Simplificando
, fica
Passo 5
Logo todas as soluções são
Como
e
, podemos reescrever
Passo 6
O valor principal corresponde a escolher
. Assim
Resposta
Todas as soluções:
Valor principal
: