Encontre todos os valores de x para que cada uma das raízes a seguir represente números reais.
raiz(x-3)(x+5);

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função definida por raiz(x-3)(x+5). Para que a raiz represente números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Então nosso conteúdo é resolver a inequação
(x-3)(x+5)>=0

Passo 2

Começamos encontrando as raízes da expressão quadrática, isto é, os pontos em que (x-3)(x+5)=0. Isso ocorre quando
x-3=0Longrightarrow x=3
ou
x+5=0Longrightarrow x=-5
Esses valores dividem a reta real em três intervalos: (-infty,-5), (-5,3) e (3,infty).

Passo 3

Para determinar onde o produto é não negativo, escolhemos um ponto em cada intervalo e calculamos o sinal de (x-3)(x+5):
  • Em x=-6 (intervalo (-infty,-5)):
    (x-3)(x+5)=(-6-3)cdot(-6+5)=(-9)cdot(-1)=+9>0.
  • Em x=0 (intervalo (-5,3)):
    (0-3)cdot(0+5)=(-3)cdot5=-15<0.
  • Em x=4 (intervalo (3,infty)):
    (4-3)cdot(4+5)=1cdot9=9>0.
Portanto, (x-3)(x+5)>=0 ocorre nos intervalos onde o produto é positivo ou zero, isto é, para x<=-5 ou x>=3.

Passo 4

Como em x=-5 e em x=3 o radicando fica zero (e raiz0=0 é real), incluímos esses pontos. Assim, o conjunto de todas as soluções é
(-infty,-5]cup[3,infty)

Resposta

(-infty,-5]cup[3,infty)

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