Encontre todos os valores de
para os quais a série converge:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para encontrar todos os
para os quais essa série converge.
Informações e perguntas claras:
- O termo geral é
. - Quero determinar o conjunto de valores de
em que a série converge (absoluta ou condicionalmente). - Precisarei estudar o caso geral (valor de
com pequeno) e os pontos limites da região obtida (provavelmente ).
Passo 2
Vamos tratar a série como uma série de potências em
. Uma ferramenta natural é o critério da raiz (ou da razão) para séries: o teste da raiz (Cauchy) diz o seguinte.
Lembrete didático sobre o teste da raiz:
- Dada uma série
complexa, definir . - Se
a série converge absolutamente; se diverge; se o teste é inconclusivo. - Aqui usaremos
com .
Calculemos
:
Passo 3
Agora avaliamos o fator
quando
.
Explicação do limite:
- Para uma sequência positiva
com de modo moderado (por exemplo ), vale
- Aqui
cresce como , portanto . - Logo
.
Portanto
Concluímos que
Passo 4
Aplicando o teste da raiz: a série converge absolutamente se
, diverge se
, e é inconclusivo se
.
Traduzindo isso em termos de
:
- Convergência absoluta quando
. - Divergência imediata quando
. - Restam os dois pontos de fronteira
e , que precisam de testes específicos.
Até aqui: conjunto interior de convergência
(convergência absoluta). Faltam os extremos.
Passo 5
Analisando
.
Substituindo, o termo geral vira
Então a série é
Como testar divergência? Usarei o teste de condensação de Cauchy (útil para termos decrescentes positivos do tipo
).
Lembrete didático do teste de condensação:
- Se
é decrescente e positivo, converge se, e somente se, converge.
Aplicação:
- Tome
. Esses são positivos e decrescentes (justificarei decrescimento no Passo 6, mas é intuitivo aqui; mesmo sem formalidade, é um típico decrescente). - Calcule
.
Agora observe que para grande
,
Logo a série condensada é comparable à
que diverge (série harmônica). Assim
diverge, e pelo teste de condensação a série original
também diverge.
Portanto em
a série diverge.
Passo 6
Analisando
.
Substituindo, o termo geral vira
Então a série é a série alternada
Vou usar o critério de Leibniz para séries alternadas (teste de Dirichlet/Leibniz):
- Se
, monótona não crescente (eventualmente) e , então converge.
Verificações:
-
é positiva. -
porque o denominador tende a . -
é decrescente: comparar e :
pois
e
. Assim
para todo
, i.e.,
é decrescente.
Com isso o teste de Leibniz garante que a série alternada converge.
Agora verificamos se é convergência absoluta: os termos absolutos são exatamente os do caso
,
, e já vimos que essa série diverge. Logo a convergência em
é condicional, não absoluta.
Passo 7
Síntese final (interpretação prática para a prova):
- Pelo teste da raiz, a série tem raio de convergência
em : converge absolutamente para e diverge para . - No ponto
a série se torna , que diverge (teste de condensação de Cauchy). - No ponto
a série se torna , que converge por Leibniz, mas não absolutamente (condicional).
Resposta
A série converge para
tais que
(convergência absoluta).
A série converge condicionalmente em .
A série diverge em e para todo
.
A série converge condicionalmente em
A série diverge em