Encontre todos os valores de x \in \mathbb{R} para os quais a série converge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 x)^{n}}{n \ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^{n}}{n\ln(n+1)}
e pede para encontrar todos os x\in\mathbb{R} para os quais essa série converge.
Informações e perguntas claras:
  • O termo geral é a_n(x)=\dfrac{(2x)^n}{n\ln(n+1)}.
  • Quero determinar o conjunto de valores de x em que a série converge (absoluta ou condicionalmente).
  • Precisarei estudar o caso geral (valor de x com |x| pequeno) e os pontos limites da região obtida (provavelmente x=\pm\dfrac{1}{2}).

Passo 2

Vamos tratar a série como uma série de potências em 2x. Uma ferramenta natural é o critério da raiz (ou da razão) para séries: o teste da raiz (Cauchy) diz o seguinte.
Lembrete didático sobre o teste da raiz:
  • Dada uma série \sum a_n complexa, definir L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Aqui usaremos \sqrt[n]{|a_n(x)|} com a_n(x)=\dfrac{(2x)^n}{n\ln(n+1)}.
Calculemos \sqrt[n]{|a_n(x)|}:
\sqrt[n]{|a_n(x)|}=\sqrt[n]{\frac{|2x|^n}{n\ln(n+1)}}=|2x|\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln(n+1)}}.

Passo 3

Agora avaliamos o fator \sqrt[n]{\dfrac{1}{n\ln(n+1)}} quando n\to\infty.
Explicação do limite:
  • Para uma sequência positiva b_n com b_n\to\infty de modo moderado (por exemplo b_n=n\ln(n+1)), vale
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{b_n}}=\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1/b_n)}{n}\right)=\exp\left(-\lim_{n\to\infty}\frac{\ln b_n}{n}\right).
  • Aqui \ln b_n=\ln\big(n\ln(n+1)\big) cresce como \ln n, portanto \dfrac{\ln b_n}{n}\to 0.
  • Logo \exp\big(-\lim \frac{\ln b_n}{n}\big)=\exp(0)=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln(n+1)}}=1.
Concluímos que
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}=|2x|\cdot 1=|2x|.

Passo 4

Aplicando o teste da raiz: a série converge absolutamente se |2x|<1, diverge se |2x|>1, e é inconclusivo se |2x|=1.
Traduzindo isso em termos de x:
  • Convergência absoluta quando |x|<\tfrac{1}{2}.
  • Divergência imediata quando |x|>\tfrac{1}{2}.
  • Restam os dois pontos de fronteira x=\tfrac{1}{2} e x=-\tfrac{1}{2}, que precisam de testes específicos.
Até aqui: conjunto interior de convergência \{x:|x|<\tfrac{1}{2}\} (convergência absoluta). Faltam os extremos.

Passo 5

Analisando x=\tfrac{1}{2}.
Substituindo, o termo geral vira
a_n\Big(\tfrac{1}{2}\Big)=\frac{(2\cdot\frac{1}{2})^n}{n\ln(n+1)}=\frac{1}{n\ln(n+1)}.
Então a série é
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln(n+1)}.
Como testar divergência? Usarei o teste de condensação de Cauchy (útil para termos decrescentes positivos do tipo a_n).
Lembrete didático do teste de condensação:
  • Se (a_n) é decrescente e positivo, \sum a_n converge se, e somente se, \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} converge.
Aplicação:
  • Tome a_n=\dfrac{1}{n\ln(n+1)}. Esses a_n são positivos e decrescentes (justificarei decrescimento no Passo 6, mas é intuitivo aqui; mesmo sem formalidade, é um a_n típico decrescente).
  • Calcule 2^k a_{2^k}=\dfrac{2^k}{2^k\ln(2^k+1)}=\frac{1}{\ln(2^k+1)}.
Agora observe que para grande k,
\frac{1}{\ln(2^k+1)}\sim \frac{1}{\ln(2^k)}=\frac{1}{k\ln 2}.
Logo a série condensada é comparable à
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k},
que diverge (série harmônica). Assim \sum 2^k a_{2^k} diverge, e pelo teste de condensação a série original \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n\ln(n+1)} também diverge.
Portanto em x=\tfrac{1}{2} a série diverge.

Passo 6

Analisando x=-\tfrac{1}{2}.
Substituindo, o termo geral vira
a_n\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)=\frac{(2\cdot(-\tfrac{1}{2}))^n}{n\ln(n+1)}=\frac{(-1)^n}{n\ln(n+1)}.
Então a série é a série alternada
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n\ln(n+1)}.
Vou usar o critério de Leibniz para séries alternadas (teste de Dirichlet/Leibniz):
  • Se b_n\ge 0, b_n monótona não crescente (eventualmente) e b_n\to 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Verificações:
  1. b_n=\dfrac{1}{n\ln(n+1)} é positiva.
  2. b_n\to 0 porque o denominador tende a +\infty.
  3. b_n é decrescente: comparar b_{n+1} e b_n:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{n\ln(n+1)}{(n+1)\ln(n+2)}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}<1,
pois \dfrac{n}{n+1}<1 e \dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}<1. Assim b_{n+1}<b_n para todo n, i.e., b_n é decrescente.
Com isso o teste de Leibniz garante que a série alternada converge.
Agora verificamos se é convergência absoluta: os termos absolutos são exatamente os do caso x=\tfrac{1}{2}, \dfrac{1}{n\ln(n+1)}, e já vimos que essa série diverge. Logo a convergência em x=-\tfrac{1}{2} é condicional, não absoluta.

Passo 7

Síntese final (interpretação prática para a prova):
  • Pelo teste da raiz, a série tem raio de convergência \tfrac{1}{2} em x: converge absolutamente para |x|<\tfrac{1}{2} e diverge para |x|>\tfrac{1}{2}.
  • No ponto x=\tfrac{1}{2} a série se torna \sum \dfrac{1}{n\ln(n+1)}, que diverge (teste de condensação de Cauchy).
  • No ponto x=-\tfrac{1}{2} a série se torna \sum (-1)^n\dfrac{1}{n\ln(n+1)}, que converge por Leibniz, mas não absolutamente (condicional).

Resposta

A série converge para x tais que |x|<\tfrac{1}{2} (convergência absoluta).
A série converge condicionalmente em x=-\tfrac{1}{2}.
A série diverge em x=\tfrac{1}{2} e para todo |x|>\tfrac{1}{2}.

Exercícios relacionados