Exercício 2.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)=x-3 y \\\ y(1,2)=5\end{array}\right., obtenha uma aproximação de y(2) para h=0,4 usando os métodos a seguir:
c) Método de Runge-Kutta de 3^{\underline{a}} ordem.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y'(x)=x-3y,\\[4pt] y(1,2)=5, \end{cases}
e pede uma aproximação de y(2) usando passo h=0,4 pelo método de Runge–Kutta de 3ª ordem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função derivada é f(x,y)=x-3y.
  • Condição inicial: x_0=1,2 e y_0=5 (peguei estes valores do enunciado).
  • Passo (tamanho do passo): h=0,4.
  • Ponto alvo: x=2.
  • Número de passos necessários: \dfrac{2-1,2}{0,4}=2. Ou seja, serão duas iterações do método para ir de x_0=1,2 até x_2=2,0.
O que será calculado nos próximos passos: aplicar duas vezes o esquema do Runge–Kutta de 3ª ordem para obter y_1 em x_1=1,6 e depois y_2 em x_2=2,0.]

Passo 2

Explicando o método de Runge–Kutta de 3ª ordem (forma explícita que usaremos) — aula rápida e prática.
É um método de três etapas que, a partir de (x_n,y_n), calcula:
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,y_n),\\[4pt] k_2 &= f\!\left(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_1\right),\\[4pt] k_3 &= f\!\left(x_n+h,\,y_n+h(-k_1+2k_2)\right), \end{aligned}
e atualiza
y_{n+1}=y_n + h\frac{k_1+4k_2+k_3}{6}.
O que cada símbolo significa:
  • f(x,y) é a função do lado direito da EDO (aqui f(x,y)=x-3y).
  • h é o tamanho do passo.
  • k_1,k_2,k_3 são estimativas das inclinações (derivadas) em pontos intermediários.
  • A fórmula final é uma combinação ponderada dessas inclinações para obter uma aproximação de y_{n+1}.
Por que esse esquema? Intuitivamente: k_1 é a inclinação no início do passo, k_2 aproxima a inclinação no meio do passo usando k_1, e k_3 aproxima a inclinação no final do passo usando uma combinação de k_1 e k_2. A combinação (k_1+4k_2+k_3)/6 dá um valor de 3ª ordem de precisão para a solução incremental.
Agora aplicamos esse esquema passo a passo ao nosso problema. Em cada passo vou mostrar as contas com 4 casas decimais (conforme pedido).]

Passo 3

Primeira iteração: de x_0=1,2 para x_1=1,6 ( h=0,4). Valores iniciais:
x_0=1,2,\qquad y_0=5,\qquad f(x,y)=x-3y.
Calcule k_1:
k_1=f(1,2,\,5)=1,2-3\cdot5=1,2-15=-13,8.
Apresentando com 4 casas decimais: k_1=-13,8000.

Passo 4

Calcule k_2:
x_0+\tfrac{h}{2}=1,2+0,2=1,4.
y_0+\tfrac{h}{2}k_1=5+0,2\cdot(-13,8)=5-2,76=2,24.
k_2=f(1,4,\,2,24)=1,4-3\cdot2,24=1,4-6,72=-5,32.
Com 4 casas decimais: k_2=-5,3200.

Passo 5

Calcule k_3:
x_0+h=1,2+0,4=1,6.
y_0+h(-k_1+2k_2)=5+0,4\bigl(-(-13,8)+2\cdot(-5,32)\bigr).
Dentro do parêntese:
-(-13,8)+2(-5,32)=13,8-10,64=3,16.
Multiplicando por h=0,4:
0,4\cdot3,16=1,264.
Logo
y\\ \text{para }k_3=5+1,264=6,264.
k_3=f(1,6,\,6,264)=1,6-3\cdot6,264=1,6-18,792=-17,192.
Com 4 casas decimais: k_3=-17,1920.

Passo 6

Atualize y_1 usando a combinação:
y_1 = y_0 + h\frac{k_1+4k_2+k_3}{6}.
Substituindo os valores (vou mostrar as somas passo a passo):
k_1+4k_2+k_3 = -13,8 + 4(-5,32) + (-17,192).
4(-5,32)=-21,28.
-13,8-21,28-17,192=-52,272.
\frac{-52,272}{6}=-8,712.
h\cdot\frac{k_1+4k_2+k_3}{6}=0,4\cdot(-8,712)=-3,4848.
y_1=5-3,4848=1,5152.
Com 4 casas decimais: y_1=1,5152 em x_1=1,6.

Passo 7

Segunda iteração: de x_1=1,6 para x_2=2,0. Valores iniciais para esta etapa:
x_1=1,6,\qquad y_1=1,5152.
Calcule k_1 (segunda iteração):
k_1=f(1,6,\,1,5152)=1,6-3\cdot1,5152=1,6-4,5456=-2,9456.
Com 4 casas decimais: k_1=-2,9456.

Passo 8

Calcule k_2 (segunda iteração):
x_1+\tfrac{h}{2}=1,6+0,2=1,8.
y_1+\tfrac{h}{2}k_1=1,5152+0,2\cdot(-2,9456)=1,5152-0,58912=0,92608.
k_2=f(1,8,\,0,92608)=1,8-3\cdot0,92608=1,8-2,77824=-0,97824.
Com 4 casas decimais: k_2=-0,9782 (arredondando para 4 casas: -0,9782). Para manter consistência nas próximas contas usarei a precisão mostrada nos passos anteriores (mantendo 6 dígitos quando necessário), mas o resultado final será com 4 casas.

Passo 9

Calcule k_3 (segunda iteração):
x_1+h=1,6+0,4=2,0.
y_1+h(-k_1+2k_2)=1,5152+0,4\bigl(-(-2,9456)+2(-0,97824)\bigr).
Calcule o parêntese:
-(-2,9456)+2(-0,97824)=2,9456-1,95648=0,98912.
Multiplicando por h:
0,4\cdot0,98912=0,395648.
y\\ \text{para }k_3=1,5152+0,395648=1,910848.
k_3=f(2,0,\,1,910848)=2,0-3\cdot1,910848=2,0-5,732544=-3,732544.
Com 4 casas decimais: k_3=-3,7325 (arredondado).

Passo 10

Atualize y_2:
y_2 = y_1 + h\frac{k_1+4k_2+k_3}{6}.
Substituindo os valores (usando os números não arredondados nas contas internas para melhor precisão):
k_1+4k_2+k_3 = -2,9456 + 4(-0,97824) + (-3,732544).
4(-0,97824)=-3,91296.
-2,9456 -3,91296 -3,732544 = -10,591104.
\frac{-10,591104}{6}=-1,765184.
h\cdot\frac{k_1+4k_2+k_3}{6}=0,4\cdot(-1,765184)=-0,7060736.
y_2=1,5152-0,7060736=0,8091264.
Arredondando para 4 casas decimais (conforme instruído): y_2\approx0,8091.

Resposta

y(2)\approx0,8091

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