Exercício 2.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI
, obtenha uma aproximação de
para
usando os métodos a seguir:
c) Método de Runge-Kutta de
ordem.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI
c) Método de Runge-Kutta de
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
e pede uma aproximação de
usando passo
pelo método de Runge–Kutta de 3ª ordem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função derivada é
. - Condição inicial:
e (peguei estes valores do enunciado). - Passo (tamanho do passo):
. - Ponto alvo:
. - Número de passos necessários:
. Ou seja, serão duas iterações do método para ir de até .
O que será calculado nos próximos passos: aplicar duas vezes o esquema do Runge–Kutta de 3ª ordem para obter
em
e depois
em
.]
Passo 2
Explicando o método de Runge–Kutta de 3ª ordem (forma explícita que usaremos) — aula rápida e prática.
É um método de três etapas que, a partir de
, calcula:
e atualiza
O que cada símbolo significa:
-
é a função do lado direito da EDO (aqui ). -
é o tamanho do passo. -
são estimativas das inclinações (derivadas) em pontos intermediários. - A fórmula final é uma combinação ponderada dessas inclinações para obter uma aproximação de
.
Por que esse esquema? Intuitivamente:
é a inclinação no início do passo,
aproxima a inclinação no meio do passo usando
, e
aproxima a inclinação no final do passo usando uma combinação de
e
. A combinação
dá um valor de 3ª ordem de precisão para a solução incremental.
Agora aplicamos esse esquema passo a passo ao nosso problema. Em cada passo vou mostrar as contas com 4 casas decimais (conforme pedido).]
Passo 3
Primeira iteração: de
para
(
). Valores iniciais:
Calcule
:
Apresentando com 4 casas decimais:
.
Passo 4
Calcule
:
Com 4 casas decimais:
.
Passo 5
Calcule
:
Dentro do parêntese:
Multiplicando por
:
Logo
Com 4 casas decimais:
.
Passo 6
Atualize
usando a combinação:
Substituindo os valores (vou mostrar as somas passo a passo):
Com 4 casas decimais:
em
.
Passo 7
Segunda iteração: de
para
. Valores iniciais para esta etapa:
Calcule
(segunda iteração):
Com 4 casas decimais:
.
Passo 8
Calcule
(segunda iteração):
Com 4 casas decimais:
(arredondando para 4 casas:
). Para manter consistência nas próximas contas usarei a precisão mostrada nos passos anteriores (mantendo 6 dígitos quando necessário), mas o resultado final será com 4 casas.
Passo 9
Calcule
(segunda iteração):
Calcule o parêntese:
Multiplicando por
:
Com 4 casas decimais:
(arredondado).
Passo 10
Atualize
:
Substituindo os valores (usando os números não arredondados nas contas internas para melhor precisão):
Arredondando para 4 casas decimais (conforme instruído):
.