Exercício 2.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI
, obtenha uma aproximação de
para
usando os métodos a seguir:
b) Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun).
(use 4 casas decimais) Dado o PVI
b) Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun).
Passo 1
O enunciado dá o problema a seguir e pede uma aproximação de
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- condição inicial:
(peguei
do enunciado ); - passo:
; - ponto alvo:
; - função do EDO:
.
Calcule o número de passos necessários:
Portanto faremos duas iterações do método de Euler aperfeiçoado (Heun) para chegar a
.]
Passo 2
Explicando o método de Euler Aperfeiçoado (Heun) de forma didática e sem pular etapas.
A ideia: em cada passo, usamos uma previsão (predictor) com o Euler explícito simples e depois corrigimos essa previsão tomando a média entre a inclinação no ponto inicial do passo e a inclinação no ponto previsto. Isso reduz o erro em relação ao Euler simples.
Fórmulas do método (para passar de
a
):
Explicação das variáveis:
-
é a função no lado direito da EDO; aqui . -
é a inclinação no início do passo. -
é o valor previsto em usando Euler simples. -
é a inclinação avaliada no ponto previsto. - A correção média
aproxima a integral da inclinação no intervalo por trapézio.
Agora aplicamos passo a passo.
Passo 3
Primeira iteração (de
para
).
Dados iniciais:
,
,
. A função é
.
Calcule
:
Previsor (Euler explícito):
Agora calcule
. Note que
. Avaliamos
em
:
Aplicando a fórmula de correção:
Calcule a soma
. Então
Armazenar para o próximo passo:
,
.
Passo 4
Segunda iteração (de
para
).
Dados:
,
,
.
Calcule
neste passo:
Previsor:
Agora
. Calcule
:
Corrija para obter
:
Some
. Então
Arredondando para quatro casas decimais (conforme pedido),
. Este é o valor aproximado de
pelo método de Heun com
.