Exercício 2.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)=x-3 y \\\ y(1,2)=5\end{array}\right., obtenha uma aproximação de y(2) para h=0,4 usando os métodos a seguir:
b) Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun).

Passo 1

O enunciado dá o problema a seguir e pede uma aproximação de y(2)\) usando passo \(h=0,4\): \[\begin{cases} y'(x)=x-3y,\\[4pt] y(1,2)=5. \end{cases}
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • condição inicial: x_0=1,2\] e \(y_0=5 (peguei x_0=1,2 do enunciado y(1,2)=5);
  • passo: h=0,4;
  • ponto alvo: x=2;
  • função do EDO: f(x,y)=x-3y.
    Calcule o número de passos necessários:
N=\frac{2-1,2}{0,4}=\frac{0,8}{0,4}=2.
Portanto faremos duas iterações do método de Euler aperfeiçoado (Heun) para chegar a x_2=2.]

Passo 2

Explicando o método de Euler Aperfeiçoado (Heun) de forma didática e sem pular etapas.
A ideia: em cada passo, usamos uma previsão (predictor) com o Euler explícito simples e depois corrigimos essa previsão tomando a média entre a inclinação no ponto inicial do passo e a inclinação no ponto previsto. Isso reduz o erro em relação ao Euler simples.
Fórmulas do método (para passar de (x_n,y_n) a (x_{n+1},y_{n+1})):
k_1=f(x_n,y_n)
\tilde{y}=y_n+h\,k_1 \quad\text{(previsor por Euler explícito)}í
k_2=f(x_{n+1},\tilde{y})
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\,(k_1+k_2).
Explicação das variáveis:
  • f(x,y) é a função no lado direito da EDO; aqui f(x,y)=x-3y.
  • k_1 é a inclinação no início do passo.
  • \tilde{y} é o valor previsto em x_{n+1}=x_n+h usando Euler simples.
  • k_2 é a inclinação avaliada no ponto previsto.
  • A correção média \dfrac{h}{2}(k_1+k_2) aproxima a integral da inclinação no intervalo por trapézio.
Agora aplicamos passo a passo.

Passo 3

Primeira iteração (de x_0=1,2 para x_1=1,6).
Dados iniciais: x_0=1,2, y_0=5, h=0,4. A função é f(x,y)=x-3y.
Calcule k_1:
k_1=f(x_0,y_0)=1,2-3\cdot 5=1,2-15=-13,8.
Previsor (Euler explícito):
\tilde{y}=y_0+h\,k_1=5+0,4\cdot(-13,8)=5-5,52=-0,52.
Agora calcule k_2. Note que x_1=x_0+h=1,6. Avaliamos f em (x_1,\tilde{y}):
k_2=f(1,6,-0,52)=1,6-3\cdot(-0,52)=1,6+1,56=3,16.
Aplicando a fórmula de correção:
y_1=y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)=5+\frac{0,4}{2}(-13,8+3,16).
Calcule a soma k_1+k_2=-13,8+3,16=-10,64. Então
y_1=5+0,2\cdot(-10,64)=5-2,128=2,872.
Armazenar para o próximo passo: x_1=1,6, y_1=2,872.

Passo 4

Segunda iteração (de x_1=1,6 para x_2=2,0).
Dados: x_1=1,6, y_1=2,872, h=0,4.
Calcule k_1 neste passo:
k_1=f(1,6,2,872)=1,6-3\cdot 2,872=1,6-8,616=-7,016.
Previsor:
\tilde{y}=y_1+h\,k_1=2,872+0,4\cdot(-7,016)=2,872-2,8064=0,0656.
Agora x_2=x_1+h=2,0. Calcule k_2:
k_2=f(2,0,0,0656)=2,0-3\cdot 0,0656=2,0-0,1968=1,8032.
Corrija para obter y_2:
y_2=y_1+\frac{h}{2}(k_1+k_2)=2,872+0,2\cdot(-7,016+1,8032).
Some k_1+k_2=-7,016+1,8032=-5,2128. Então
y_2=2,872+0,2\cdot(-5,2128)=2,872-1,04256=1,82944.
Arredondando para quatro casas decimais (conforme pedido), y_2=1,8294. Este é o valor aproximado de y(2) pelo método de Heun com h=0,4.

Resposta

y(2)\approx 1,8294

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