Encontre todos os valores de x no intervalo [ 0,2 \pi ] que satisfaçam a equação.
2 \cos x+\operatorname{sen} 2 x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x no intervalo [0,2\pi] que satisfaçam a equação
2\cos x + \operatorname{sen} 2x = 0.
O conteúdo envolve equações trigonométricas e usaremos a identidade de ângulo duplo e fatoração.

Passo 2

Usamos a identidade \operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x. Substituindo na equação, obtemos
2\cos x + \operatorname{sen} 2x = 2\cos x + 2\operatorname{sen} x\cos x.
Agora fatoramos 2\cos x:
2\cos x + 2\operatorname{sen} x\cos x = 2\cos x\,(1 + \operatorname{sen} x) = 0.

Passo 3

Para que o produto seja zero, vale
\cos x = 0 \quad\text{ou}\quad 1 + \operatorname{sen} x = 0.
No intervalo [0,2\pi]:
  • \cos x = 0 conduz a
x = \tfrac{\pi}{2},\quad x = \tfrac{3\pi}{2}.
  • 1 + \operatorname{sen} x = 0 implica \operatorname{sen} x = -1, que em [0,2\pi] ocorre em
x = \tfrac{3\pi}{2}.

Passo 4

Unindo as soluções e eliminando repetições, obtemos
x = \tfrac{\pi}{2},\quad \tfrac{3\pi}{2}.

Resposta

x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}

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