Se \operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{4}, onde x e y estão entre 0 e \pi / 2, calcule a expressão.
\operatorname{sen} 2 y

Passo 1

O enunciado diz que \operatorname{sen} x=\tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\tfrac{5}{4}, com x,y\in(0,\pi/2), e pede \sen2y. Note que a informação sobre x não entra no cálculo de \sen2y. Vamos usar três ideias principais:
  1. a definição de secante como recíproca do cosseno;
  2. a identidade pitagórica \operatorname{sen}^2y+\cos^2y=1;
  3. a fórmula de ângulo duplo \sen2y=2\operatorname{sen} y\cos y.

Passo 2

Da definição de secante temos
\operatorname{sec} y=\frac{1}{\cos y}=\frac{5}{4}
Logo,
\cos y=\frac{4}{5}.

Passo 3

Para achar \operatorname{sen} y, usamos \operatorname{sen}^2y=1-\cos^2y:
\operatorname{sen}^2y=1-\Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)^2 =1-\frac{16}{25} =\frac{9}{25},
e como y\in(0,\pi/2), \operatorname{sen} y>0. Logo,
\operatorname{sen} y=\frac{3}{5}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de ângulo duplo:
\sen2y=2\,\operatorname{sen} y\,\cos y =2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} =\frac{24}{25}.

Resposta

\displaystyle \frac{24}{25}

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