Encontre todos vetores v no plano tal que |v| = 1 e |v + i| = 1.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria vetorial no plano. A questão pede para encontrar todos os vetores v que têm módulo igual a 1 e que, quando somados com o vetor i (o vetor unitário na direção x), também têm módulo igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos módulos de vetores e resolver algumas equações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o módulo de um vetor. O módulo de um vetor é dado por:
Então, se , temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda condição: . O vetor i é o vetor unitário na direção x, ou seja, . Portanto, . O módulo desse vetor é:

Passo 4

Agora, temos duas equações:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para simplificar:

Passo 5

Com o valor de x encontrado, substituímos na equação (1) para encontrar y:

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições são:

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