Encontre o trabalho realizado pelo campo F=x y i+y^2 j ao mover uma partícula ao longo da curva C descrita pelo caminho r(t)=(3 cos (t), 2 sin (t)) para 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que rolou: o enunciado pede pra gente achar o trabalho que o campo
vec F = x,y,vec i + y^2,vec j
faz ao mover uma partícula na curva
vec r(t) = (3cos t,,2sin t)
de t=0 até t=pi.
Isso é um exercício de integral de linha de um campo vetorial.
Pra resolver, a gente vai usar a fórmula
W = integralC vec F cdot dvec r = integral0^pi vec F(vec r(t)) cdot vec r,'(t),dt

Passo 2

Primeiro, calcula a derivada da parametrização (a velocidade da partícula):
vec r(t) = (3cos t,,2sin t) Longrightarrow vec r,'(t) = (-3sin t,,2cos t)
Isso é importante porque dvec r = vec r,'(t),dt.

Passo 3

Agora substitui x=3cos t e y=2sin t no campo vec F(x,y):
vec F(vec r(t)) = (x,y,,y^2) = l(3cos tcdot2sin t,,(2sin t)^2r) = (6cos tsin t,,4sin^2t)
É só trocar as coordenadas pela parametrização.

Passo 4

Faz o produto escalar vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t):
(6cos tsin t,,4sin^2t)cdot(-3sin t,,2cos t) = -18cos tsin^2t + 8sin^2tcos t = -10sin^2tcos t
Esse é o nosso integrando.

Passo 5

Agora integra de 0 a pi:
W = integral0^pi -10sin^2tcos t,dt
Usa u=sin t, então du=cos t,dt.
Quando t=0, u=0; quando t=pi, u=0.
W = -10integral0^0u^2,du = 0

Resposta

O trabalho realizado é 0.

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