Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente
F(x, y)=y i+x j e alpha(t)=cos (t) i+sen(t) j, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do trabalho realizado pelo campo vetorial vec F(x,y)=y,vec i + x,vec j ao longo da curva alpha(t)=cos t,vec i+sin t,vec j, de t=0 até t=pi/2. O conteúdo envolvido é o de integral de linha (trabalho) de um campo vetorial, e vamos precisar usar a parametrização da curva, a sua derivada e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro determinamos a derivada da parametrização e avaliamos o campo nela. Temos
alpha'(t)=(-sin t),vec i+ (cos t),vec j,
F(alpha(t))=F(cos t,sin t)=sin t,vec i+cos t,vec j

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar F(alpha(t))cdotalpha'(t):
F(alpha(t))cdotalpha'(t)=sin t(-sin t)+cos t(cos t)=-sin^2t+cos^2t=cos(2t)
Assim o trabalho fica
W=integral0^pi/2cos(2t),dt

Passo 4

Por fim, integramos:
integral0^pi/2cos(2t),dt=l[tfrac12sin(2t)r]0^pi/2=tfrac12(sinpi-sin0)=0

Resposta

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