Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathrm{F}=x y \mathrm{i}+y z \mathrm{j}+x z \mathrm{k}
(a) O segmento de reta C_{1}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força \mathbf{F}(x,y,z)=x y\,\mathbf{i}+y z\,\mathbf{j}+x z\,\mathbf{k}
ao longo do segmento de reta C_{1} que vai de (0,0,0) a (1,1,1), parametrizado por \mathbf{r}(t)=(t,t,t), 0\le t\le1.
Para calcular o trabalho usamos a fórmula
W=\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\,.

Passo 2

Primeiro obtemos d\mathbf{r} e expressamos \mathbf{F} em função de t. \mathbf{r}(t)=(t,t,t) implica
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(1,1,1)\,dt.
E
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =(t\cdot t,t\cdot t,t\cdot t) =(t^2,t^2,t^2).
O produto escalar fica
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r} =(t^2,t^2,t^2)\cdot(1,1,1)\,dt =3\,t^2\,dt.

Passo 3

Agora integramos de t=0 até t=1:
W=\int_{0}^{1}3\,t^2\,dt =\bigl[t^3\bigr]_{0}^{1} =1-0 =1.

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo de C_{1} é 1.

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