Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=\sqrt{z} \mathbf{i}-2 x \mathbf{j}+\sqrt{y} \mathbf{k}
(c) O caminho C_{3} \cup C_{4} que consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido pelo segmento de (1,1,0) até (1, 1, 1)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força
\mathbf{F}(x,y,z)=\sqrt{z}\,\mathbf{i}-2x\,\mathbf{j}+\sqrt{y}\,\mathbf{k}
ao longo do caminho C_3\cup C_4, que é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido do segmento vertical de (1,1,0) a (1,1,1). Vamos usar o conceito de integral de linha de um campo vetorial:
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
parametrizando cada parte do caminho.

Passo 2

Parametrização de C_3 (reta de (0,0,0) a (1,1,0)):
\mathbf{r}_3(t)=(t,t,0),\quad t\in[0,1],
então
\mathbf{r}_3'(t)=(1,1,0).
Em cada ponto de C_3,
\mathbf{F}(\mathbf{r}_3(t)) =\sqrt{0}\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}+\sqrt{t}\,\mathbf{k} =0\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}+\sqrt{t}\,\mathbf{k}.
O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}_3(t))\cdot\mathbf{r}_3'(t) =0\cdot1+(-2t)\cdot1+(\sqrt{t})\cdot0=-2t.
Logo,
\int_{C_3}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}(-2t)\,dt =-\bigl[t^2\bigr]_{0}^{1} =-1.

Passo 3

Parametrização de C_4 (vertical de (1,1,0) a (1,1,1)):
\mathbf{r}_4(u)=(1,1,u),\quad u\in[0,1],
logo
\mathbf{r}_4'(u)=(0,0,1).
Em cada ponto de C_4,
\mathbf{F}(\mathbf{r}_4(u)) =\sqrt{u}\,\mathbf{i}-2\cdot1\,\mathbf{j}+\sqrt{1}\,\mathbf{k} =\sqrt{u}\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.
O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}_4(u))\cdot\mathbf{r}_4'(u) =\sqrt{u}\cdot0+(-2)\cdot0+1\cdot1=1.
Assim,
\int_{C_4}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}1\,du =1.

Passo 4

O trabalho total ao longo de C_3\cup C_4 é a soma dos dois trechos:
W=\int_{C_3}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} +\int_{C_4}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-1+1=0.

Resposta

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