Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=\sqrt{z} \mathbf{i}-2 x \mathbf{j}+\sqrt{y} \mathbf{k}
(a) O segmento de reta C_{1}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força
\mathbf{F}(x,y,z)=\sqrt{z}\,\mathbf{i}-2x\,\mathbf{j}+\sqrt{y}\,\mathbf{k}
ao longo do segmento de reta C_{1} de (0,0,0) a (1,1,1). Vamos usar parametrização por t\in[0,1] e calcular
W=\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Parametrizamos C_{1} por
\mathbf{r}(t)=(t,t,t),\quad 0\le t\le1,
então
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(1,1,1)\,dt,
e nas coordenadas x=y=z=t temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\sqrt{t}\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}+\sqrt{t}\,\mathbf{k}.

Passo 3

O produto escalar entra em
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) =\sqrt{t}\cdot1+(-2t)\cdot1+\sqrt{t}\cdot1 =2\sqrt{t}-2t.

Passo 4

O trabalho é
W=\int_{0}^{1}\bigl(2\sqrt{t}-2t\bigr)\,dt =2\int_{0}^{1}t^{1/2}dt-2\int_{0}^{1}t\,dt =2\cdot\frac{2}{3}-2\cdot\frac{1}{2} =\frac{4}{3}-1 =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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