Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=(y+z) \mathbf{i}+(z+x) \mathbf{j}+(x+y) \mathbf{k}
(c) O caminho C_{3} \cup C_{4} que consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido pelo segmento de (1,1,0) até (1, 1, 1)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C_3\cup C_4}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
da força \mathbf{F}=(y+z)\mathbf{i}+(z+x)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k} ao mover uma partícula de (0,0,0) até (1,1,1) seguindo primeiro o segmento C_3\colon(0,0,0)\to(1,1,0) e depois C_4\colon(1,1,0)\to(1,1,1). O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial e o uso do Teorema Fundamental para gradientes (campos conservativos).

Passo 2

Mostramos que \mathbf{F} é conservativo, pois
\frac{\partial}{\partial y}(y+z)=1,\quad \frac{\partial}{\partial x}(z+x)=1,
\frac{\partial}{\partial z}(z+x)=1,\quad \frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,
e todos os pares de derivadas mistas coincidem. Logo existe f(x,y,z) tal que \nabla f=\mathbf{F}. Integrando f_x=y+z em relação a x e ajustando constantes, obtemos
f(x,y,z)=xy+xz+yz.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental dos Gradientes, a integral de linha depende só dos pontos finais, isto é
W=f\bigl(1,1,1\bigr)-f\bigl(0,0,0\bigr) =(1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1)-0=3.

Resposta

3

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